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Une figure impossible

Il est impossible de construire la figure suivante dans laquelle AC = AD et BC = BD avec les points C et D distincts et situés du même côté de la droite (AB).

Explications :

Supposons cette figure existante. Alors les triangles CAD et CBD sont isocèles. Cela conduit aux égalités de mesures d’angles suivantes : \widehat{ACD}=\widehat{CDA} et \widehat{BCD}=\widehat{CDB}.

Or : \widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{BCD}

Donc \widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{CDB}

Soit \widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{CDA}+\widehat{ADB}

Ce qui donne \widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{ACD}+\widehat{ADB}

Ce qui est impossible car \widehat{ACD} ne peut pas être strictement supérieur à lui-même.

Remarque : Il s’agit de la proposition I.7 des Éléments d’Euclide.