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Un quadrilatère dans un carré

ABCD est un carré de côtés mesurant une unité. E est le milieu du segment [AD] et F est un point du segment [BC] situé à un quart d’unité de B. G est le point d’intersection des droites (DF) et (EC). H est le point d’intersection des droites (EB) et (AF). On veut déterminer l’aire du quadrilatère EHFG.

Explications :

L’aire de EHFG s’obtient en retirant de DAF les aires des triangles DEG et EAH.

L’aire du triangle DAF est \dfrac{1}{2}.

Le théorème de Thales permet de déterminer les aires de DEG et EAH. On fait apparaître sur la figure les hauteurs de ces triangles.

Triangle DEG : On observe que \dfrac{GK}{GL} = \dfrac{DE}{CF} = \dfrac{ \dfrac{1}{2}}{ \dfrac{3}{4}} = \dfrac{2}{3}. Ce qui donne GL = \dfrac{3}{2} GK.

Or GK + GL = 1 = GK + \dfrac{3}{2} GK = \dfrac{5}{2} GK. Donc GK = \dfrac{2}{5}.

Ainsi l’aire de DEG est : \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{10}.

Triangle EAH : On observe que \dfrac{HI}{HJ} = \dfrac{EA}{FB} = \dfrac{ \dfrac{1}{2}}{ \dfrac{1}{4}} = 2. Ce qui donne HJ = \dfrac{1}{2} HI.

Or HI + HJ = 1 = HI + \dfrac{1}{2} HI = \dfrac{3}{2} HI. Donc HI = \dfrac{2}{3}.

Ainsi l’aire de EAH est : \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.

Conclusion : L’aire de EHFG est : \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{30} d’unité.