Théorème de Viviani

Étant donnés un triangle ABC et un point M placé à l’intérieur du triangle, La somme des distances de ce point aux côtés du triangle est constante et égale à la hauteur du triangle : $MD + ME + MF = HC$ .

Explications :

On calcule l’aire du triangle ABC de deux façons différentes.

Par définition c’est $\dfrac{AB \times HC}{2}$ .

C’est aussi la somme des aires des trois triangles : MAB, MBC et MCA.

La hauteur de MAB issue de M est MD, donc l’aire de MAB est $\dfrac{AB \times MD}{2}$ . On trouve facilement que les aires respectives de MBC et MCA sont $\dfrac{BC \times ME}{2}$ et $\dfrac{CA \times MF}{2}$ .

On peut alors écrire l’équation : $\dfrac{AB \times MD}{2} + \dfrac{BC \times ME}{2} + \dfrac{CA \times MF}{2} = \dfrac{AB \times HC}{2}$ . Or ABC est un triangle équilatéral donc $AB = AC = BC$ . L’équation devient : $\dfrac{AB \times (MD + ME + MF)}{2} = \dfrac{AB \times HC}{2}$ . Ce qui donne après simplification : $MD + ME + MF = HC$ .

Autre approche :

Ce raisonnement s’appuie sur le fait que les hauteurs d’un triangle équilatéral ont la même longueur.

Soit G l’intersection de la droite passant par M et parallèle à (AD). On construit le triangle équilatéral GAH de côté de longueur AG. Soit K le projeté orthogonal de G sur (AD). Alors MD = GK.

On construit le triangle équilatéral IGM de côté de longueur GM. Soient F le projeté orthogonal de M sur (AC) et L le projeté orthogonal de I sur (GM). Alors MF = IL.

On construit le triangle équilatéral CIJ de côté de longueur CI. Soit O le projeté orthogonal de I sur (BC). ME = IO car les droites (IM) et (CE) sont parallèles. En effet les angles correspondants $\widehat{ICJ}$ et $\widehat{GIM}$ sont de même mesure.