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Un point dans un triangle équilatéral

Étant donnés un triangle ABC et un point M placé à l’intérieur du triangle, La somme des distances de ce point aux côtés du triangle est constante et égale à la hauteur du triangle : MD + ME + MF = HC.

Explications :

On calcule l’aire du triangle ABC de deux façons différentes.

Par définition c’est \dfrac{AB \times HC}{2}.

C’est aussi la somme des aires des trois triangles : MAB, MBC et MCA.

La hauteur de MAB issue de M est MD, donc l’aire de MAB est \dfrac{AB \times MD}{2}. On trouve facilement que les aires respectives de MBC et MCA sont \dfrac{BC \times ME}{2} et \dfrac{CA \times MF}{2}.

On peut alors écrire l’équation :  \dfrac{AB \times MD}{2} + \dfrac{BC \times ME}{2} + \dfrac{CA \times MF}{2} = \dfrac{AB \times HC}{2}. Or ABC est un triangle équilatéral donc AB = AC = BC. L’équation devient : \dfrac{AB \times (MD + ME + MF)}{2} = \dfrac{AB \times HC}{2}. Ce qui donne après simplification : MD + ME + MF = HC.