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Un carré dans un triangle

Étant donné un triangle ABC, comment placer un carré FGIH tels que

  • F soit sur le segment [AB],
  • H sur le segment [AC],
  • G et I sur le segment [BC] et
  • les vecteurs \overrightarrow{BG} et \overrightarrow{IC} aient le même sens ?

Construction :

  • On abandonne provisoirement la contrainte « H est sur  [AC] ».
  • On place une point F quelconque sur [AB] et on trace un carré FGIH.
  • Quand F parcourt le segment [AB], H se déplace sur une droite.
  • Le point H recherché est l’intersection de cette droite avec (AC).

Explications :

Soit G’ le pied de la hauteur issue de A. On trace le carré AG’I’H’ de côté AG’.

Soit F'' un point quelconque sur [AB]. La perpendiculaire de (BC) passant par F'' coupe (BC) en G''. On trace le carré F''G''I''H'' de côté F''G''.

Il existe une homothétie h permettant de passer de AG'I'H' à F''G''I''H''. h(A)=F'' et h(G')=G''.

Le centre de cette homothétie est le point B qui est le point d’intersection des droites (F''A) et (G'G'').

Nécessairement h(H')=H'' et les point B, H'' et H' sont alignés. Quand F parcourt le segment [AB], le point H suit la droite (BH’). Cette droite coupe la droite (AC) au point H recherché.

Solution cartésienne :

Pour simplifier les calculs, on choisit un repère dont le centre est B et l’unité est la longueur BC. Dans ce repère les coordonnées de A sont (a;b) et celles de G sont (g;0).

Alors les coordonnées de F sont (g;\dfrac{b}{a}g) et celles de H sont (\dfrac{g}{a}(a-1)+1;\dfrac{b}{a}g).

FGIH est un carré si par exemple FG=GI soit \dfrac{b}{a}g=\dfrac{g}{a}(a-1)+1-g. Ce qui donne g=\dfrac{a}{b+1}.