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Triangle équilatéral inscrit dans un cercle

Étant donné un cercle de centre O, on construit un triangle équilatéral ainsi :

  1. On choisit un point quelconque A sur le cercle.
  2. À partir de A, on trace un diamètre du cercle qui coupe le cercle au point B.
  3. On place C, milieu du segment [OB].
  4. On trace la perpendiculaire à (OB) qui passe par C. Celle-ci coupe le cercle aux points D et E. ADE est un triangle équilatéral.

Explications :

Le cosinus de l’angle COD vaut OC / OD. Or par construction C est le milieu de [OB] donc OC = OB / 2 = OD / 2. Par conséquent le cosinus de COD vaut 1/2. COD étant un angle aigus, on peut affirmer que COD mesure 60°. On démontre à l’identique que l’angle COE mesure également 60°. Cela implique que :

  • l’angle DOA mesure 180 – 60 = 120° ;
  • l’angle EOA mesure 180 – 60 = 120°.

En résumé, les trois triangles ODA, OAE et OED ont un angle au sommet de même mesure (120°) et des côtés adjacents aux angles au sommet de même longueur (le rayon du cercle). Ces trois triangles sont isométriques donc leurs troisièmes côtés : AD, AE et ED sont de même longueur. On peut alors affirmer que ADE est un triangle équilatéral.