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Théorème japonais de Carnot

Dans un triangle quelconque, la sommes des distances du centre du cercle circonscrit aux côtés du triangle est égale à la somme des rayons du cercle circonscrit et du cercle inscrit.

Construction :

  • ABC un triangle quelconque.
  • Le cercle inscrit dans ABC de centre P et de rayon r.
  • Le cercle circonscrit  de centre O dont le rayon est R = OB.
  • I, J et K, projections orthogonales de O sur les trois côtés de ABC.

L’égalité du théorème japonais de Carnot : \textbf{OI + OJ + OK =  R + r}.

Construction complémentaire pour les explications :

  • E, F et G, projections orthogonales de P sur les trois côtés de ABC.
  • I, J et K, projections orthogonales de O sur les trois côtés de ABC.
  • A’, B’ et C’, pieds des hauteurs issues de A, B et C.

Explications :

Puisque P est le centre du cercle inscrit dans ABC :

  • l’aire de PBC est r \times BC
  • l’aire de PCA est r \times AC
  • l’aire de PAB est r \times AB

Donc l’aire de ABC est r(AB + BC + CA) = rp si on pose p=AB + BC + CA.

Puisque O est le centre du cercle circonscrit de ABC :

  • l’aire de OBC est OI \times BC
  • l’aire de OCA est OJ \times AC
  • l’aire de OAB est OK \times AB

Donc l’aire de ABC est OI \times BC + OJ \times AC + OK \times AB.

En rapprochant les deux expressions de l’aire de ABC on obtient :

(1) \qquad rp = OI \times BC + OJ \times AC + OK \times AB

Les triangles rectangles ABB’ et ACC’ sont semblables puisqu’ils ont un angle commun : \widehat{BAB'} = \widehat{C'AC}. Donc \cos \widehat{BAB'} = cos \widehat{C'AC} soit = \dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{AC'}{AC} = \dfrac{AB' + AC'}{AB + AC}.

Par ailleurs l’angle inscrit \widehat{BAC} et l’angle au centre \widehat{BOC} interceptent le même arc de cercle BC. Donc \widehat{BOC} = 2 \times \widehat{BAC}.
Or BOC est un triangle isocèle en O donc \widehat{BOC} = 2 \times \widehat{BOI}. D’où l’égalité : \widehat{BAC} = \widehat{BOI}.
Comme \cos \widehat{BOI} = \dfrac{OI}{OB} = \dfrac{OI}{R}, il vient que \dfrac{OI}{R} = \dfrac{AB' + AC'}{AB + AC}, soit OI \times (AB + AC) = R \times (AB' + AC').

On démontrerait de la même façons que :

  • OJ \times (BA + BC) = R \times (BC' + BA')
  • OK \times (CA + CB) = R \times (CA' + CB')

En additionnant ces trois égalités on obtient après simplification :

(2) Rp = OI \times (AB + AC) + OJ \times (BA + BC) + OK \times (CA + CB).

En additionnant membre à membre les égalités (1) et (2), on trouve après mise en facteur de p et simplification : OI + OJ + OK = R + r