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Théorème de Varignon

Étant donné un quadrilatère quelconque ABCD et les milieux E, F, G et H de ses quatre côtés, on démontre que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

Explications :

On complète la figure en traçant les diagonales [AC] et [BD] de ABCD. On applique ensuite le théorème des milieux.

Dans le triangle ABC, E et F étant les milieux respectifs de [BA] et [BC], nous pouvons, grâce au théorème des milieux, affirmer que :

  • les droites (EF) et (AC) sont parallèles ;
  • AC = 2 x EF.

Dans le triangle ADC, H et G étant les milieux respectifs de [DA] et [DC], Par conséquent :

  • les droites (HG) et (AC) sont parallèles ;
  • AC = 2 x HG.

De ce qui précède, il vient que :

  • les droites (EF) et (HG) sont parallèles ;
  • EF = HG.

Ce qui achève de démontrer que EFGH est un parallélogramme.

Remarques :

  • EFGH est un rectangle si les diagonales de ABCD sont perpendiculaires.
  • EFGH est un losange si les diagonales de ABCD sont de même longueur.