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Théorème de Reim

Étant donnés deux cercles de centre A et B se coupant aux points C et D, et E et F deux points quelconques choisis sur l’un des cercles, les droites (EC) et (FD) coupent le second cercle aux points G et H. On démontre que les droites (EF) et (HG) sont parallèles.

Explications :

\widehat{FCE}=\widehat{FDE}=\alpha car ces angles interceptent le même arc de cercle EF.

Donc \widehat{HCF}=\widehat{GDE}=\beta.

On peut alors affirmer que : O étant le point d’intersections des droites (EC) et (FD), les triangles EDO et CFO sont semblables.

Ce qui permet d’écrire les égalités de rapports : \dfrac{OE}{OF}=\dfrac{OC}{OD}, c’est-à-dire \dfrac{OC}{OE}=\dfrac{OD}{OF}.

D’après la réciproque du théorème de Thales, cette dernière égalité valide que les droites (EF) et (HG) sont parallèles.

A. Reim (1832-1922) : géomètre sudète