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Théorème de Pythagore

Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB2 + AC2 = BC2.

Explications :

Il existe plusieurs centaines de démonstrations du théorème de Pythagore.

On pose a = AC, b = AB et c = BC

On remarque que a2, b2 et c2 sont les aires des trois carrés construits à partir des trois côtés du triangle. Plusieurs démonstrations cherchent à prouver que l’aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux autres carrés.

Démonstration de Garfield :

Abraham Garfield (1831-1881) qui fut le vingtième Président des Etats-Unis, a proposé l’une des démonstrations les plus simples. On ajoute au premier triangle ABC, un second triangle FDB égal à ABC. On va calculer de deux manières différentes l’aire du trapèze rectangle AFDC.

Le calcul direct : AF \times \dfrac{AC + FD}{2} = (a+b) \times \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{(a+b)^2}{2}.

Le calcul par découpage : le trapèze est composé des triangles ABC, FDB et BDC.

L’aire de chacun des triangles ABC et FDB est \dfrac{ab}{2}.

L’aire du triangle BDC est \dfrac{c^2}{2}. En effet BDC est un triangle rectangle en B. Pour s’en assurer, on remarque que : \widehat{CBD} = \pi - (\widehat{CBA} + \widehat{FBD}) = \pi - (\widehat{CBA} + \widehat{ACB}) = \widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{2}.

On écrit que les deux calculs donnent la même aire : \dfrac{(a+b)^2}{2} = 2 \times \dfrac{ab}{2} +  \dfrac{c^2}{2}.

Le calcul donne : a^2 + b^2 = c^2.

Curiosité :

L’aire du demi-disque de diamètre c est la sommes des aires des demi-cercles de diamètre a et b.

Puisque ABC est un triangle rectangle en A, on sait que a^2+b^2=c^2. Il suffit alors de multiplier les deux membres de cette égalité par \dfrac{\pi}{8} pour obtenir :

\dfrac{\pi a^2}{8} + \dfrac{\pi b^2}{8} = \dfrac{\pi c^2}{8}.