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Théorème de Pythagore

Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB2 + AC2 = BC2.

Explications :

Il existe plusieurs centaines de démonstrations du théorème de Pythagore.

On pose a = AC, b = AB et c = BC

On remarque que a2, b2 et c2 sont les aires des trois carrés construits à partir des trois côtés du triangle. Plusieurs démonstrations cherchent à prouver que l’aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux autres carrés.

Démonstration de Garfield :
Abraham Garfield (1831-1881) qui fut le vingtième Président des Etats-Unis, a proposé l’une des démonstrations les plus simples. On ajoute au premier triangle ABC, un second triangle FDB égal à ABC. On va calculer de deux manières différentes l’aire du trapèze rectangle AFDC.

Le calcul direct : AF x (AC + FD)/2 = (a+b) x (a + b)/2 = (a+b)2/2.

Le calcul par découpage : le trapèze est composé des triangles ABC, FDB et BDC.

L’aire de chacun des triangles ABC et FDB est ab/2.

L’aire du triangle BDC est c2/2.En effet BDC est un triangle rectangle en B. Pour s’en assurer, on remarque que : CBD = π – (CBA + FBD) = π – (CBA + ACB) = BAC = π.

On écrit que les deux calculs donnent la même aire : (a+b)2/2 = c2/2. Par conséquent : (a+b)2 = c2.