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Tangente commune à deux cercles

Étant donnés deux cercles de centre C1 et C2, de centre respectif O et P, tel que le rayon de C1 soit supérieur à celui de C2; on construit ainsi la tangente à ces deux cercles :

  • On trace le cercle C3 de centre O et de rayon égal à la différence des rayons des deux cercles donnés.
  • On place le point M milieu du segment [OP] et on trace le cercle C4 de centre M passant par O.
  • Soit A le point d’intersection de C3 et de C4. On trace la droite (OA). Elle coupe C1 au point B.
  • La tangente à C1 en B est une tangente à C2.

Explications :

A est sur le cercle C3 de diamètre OP donc le triangle AOP est rectangle en A. Autrement dit les droites (OA) et (AP) sont perpendiculaires.

La droite (BE) tangente au cercle C1 est perpendiculaire à (OB), c’est-à-dire (OA). Par conséquent les droites (AP) et (BE) sont parallèles.

Soit D le point d’intersection de la droite (BE) et du cercle C2. Par hypothèse OA = OB - PD donc AB = PD. Donc PD est égale à la distance entre les droites (AP) et (BE). Alors les droites (PD) et (BE) sont perpendiculaires, donc la droite (BE) est la tangente de C2 en D.

Remarque : en considérant le triangle OBE et en utilisant le théorème de Thales, on démontre que PE = \dfrac{PD \times OP}{OA}.