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Symétrique axial de l’orthocentre

Les symétriques de l’orthocentre par rapport aux côtés du triangles appartiennent au cercle circonscrit au triangle.

Soit H l’orthocentre du triangle ABC. On trace le cercle circonscrit à ABC (de centre O). La hauteur AH coupe ce cercle au point K. On va montrer que K est le symétrique de H par rapport à (BC).

Explications :

\widehat{KCB} = \widehat{KAB} car ces deux angles interceptent le même arc de cercle KB

\widehat{BCH} = \frac{\pi}{2} - \widehat{CBA}.
Or \widehat{KAB} = \widehat{HAB} = \frac{\pi}{2} - \widehat{CBA}.
Donc \widehat{BCH} = \widehat{KAB} = \widehat{KCB}

Par conséquent, dans le triangle KCH, (CB) est à la fois la bissectrice et la hauteur issues de C.Le triangle KCB est donc isocèle et (CB) est aussi la médiatrice de [KH]. Ce qui achève de démontrer que H et K sont symétriques par rapport à (BC).