Symétrique axial de l’orthocentre

Les symétriques de l’orthocentre par rapport aux côtés du triangles appartiennent au cercle circonscrit au triangle.

Soit H l’orthocentre du triangle ABC. On trace le cercle circonscrit à ABC (de centre O). La hauteur AH coupe ce cercle au point K qui  est le symétrique de H par rapport à (BC).

Explications :

On va montrer que les triangles CKM et CHM sont isométriques. Pour cela il suffit de vérifier que \widehat{KCB} = \widehat{BCH}.

\widehat{KCB} = \widehat{KAB} car ces deux angles interceptent le même arc de cercle KB.

\widehat{BCH} =  \widehat{HAB} car ses deux angles ont des côtés deux à deux perpendiculaires.

Or \widehat{HAB} =  \widehat{KAB}

Donc \widehat{BCH} = \widehat{HAB} = \widehat{KAB} = \widehat{KCB}.

Par conséquent les triangles  CKM et CHM ont deux angles de mêmes mesures deux à deux et un côté commun CM entre ces deux angles. Ils sont donc isométriques. Alors HM = MK.  Ce qui achève de démontrer que H et K sont symétriques par rapport à (BC).