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Symétrie axiale

I – Figures symétriques

Définitions
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite. Cette droite est appelée l’axe de symétrie.

Exemple : Les figures 1 et 2 se superposent par pliage le long de la droite (d) donc elles sont symétriques par rapport à la droite (d).

On dit également que la figure 1 est le symétrique de la figure 2 dans la symétrie axiale d’axe (d).

II – Symétrique d’un point

Définition
Le symétrique d’un point A par rapport à une droite (d) est le point M tel que la droite (d) soit la médiatrice du segment [AM], c’est-à-dire tel que (d) soit la perpendiculaire au segment [AM] et passe par son milieu.

Exemple : Dans la figure ci-dessus, les points A et M sont symétriques par rapport à la droite (d).

Remarque : Si un point appartient à une droite alors son symétrique par rapport à cette droite est le point lui-même.

Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite.

Objectif : On veut placer le point L, symétrique du point K par rapport à la droite (d), en utilisant uniquement un compas.

Voici les étapes de la construction :

  1. On choisit deux points A et B sur la droite (d).
  2. On trace le cercle de centre A qui passe par K.
  3. On trace le cercle de centre B qui passe par L.
  4. Les deux cercles se croisent évidemment en K mais aussi en un nouveau point qui est le point L, symétrique de K par rapport  (d).

III – Symétrique de figures usuelles et propriétés de la symétrie axiale

 

Propriétés admises. On pourra les vérifier à l'aide de Géogébra.
  • Le symétrique d’une droite par rapport à un axe est une droite. La symétrie axiale conserve l’alignement.
  • Le symétrique d’un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs.
  • Le symétrique d’un cercle par rapport à un axe est un cercle de même rayon. Les centres des cercles sont symétriques par rapport à cet axe.
  • La symétrie axiale conserve les mesures des angles, les périmètres et les aires.
Méthode
Pour construire le symétrique d’une figure complexe, on la décompose en figures usuelles et on construit le symétrique de chacune d’elles.

IV – Axe de symétrie d’une figure

Définition
Une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure si les deux parties de la figure se superposent par pliage le long de cette droite.

Exemple :

La figure H admet deux axes de symétrie (tracés en rouge) tandis que la figure F n’en a aucun.

1) Axes de symétrie d’un segment

Propriétés
  • Un segment a deux axes de symétrie : la droite qui contient ce segment et la médiatrice de ce segment.
  • Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
  • Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Exemple :

A et B sont deux points de la droite (d’).

Le segment [AB] a deux axes de symétries : sa médiatrice (d) et la droite (d’) qui est en fait la droite [AB].

Le point C est sur la médiatrice du segment [AB]. Donc les distances CA et CB sont égales.

2) Construction de la médiatrice d’un segment

On va utiliser les propriétés précédentes pour construire la médiatrice d’un segment [AB ]à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas. Voici les étapes de construction :

  1. On trace le cercle de centre A qui passe par B.
  2. On trace le cercle de centre B qui passe par A.
  3. Ces deux cercles se croisent aux points C et D.
  4. La droite (CD) est la médiatrice du segment [AB].

Pourquoi la droite (CD) est la médiatrice de [AB] ?

Les deux cercles que nous avons tracés ont le même rayon dont la longueur est AB.

Le point C appartient au cercle de centre A, donc la distance AC est égale à la distance AB. Mais le point C appartient aussi au cercle de centre B, donc la distance BC est aussi égale à la distance AB. Par conséquent, les deux distances AC et AB sont égales. On en conclut que le point C appartient à la médiatrice du segment [AB].

Nous pouvons faire exactement la même observation avec le point D et conclure que le point D appartient à la médiatrice du segment [AB].

Donc la droite passant par C et D est nécessairement la médiatrice du segment [AB].

3) Axe de symétrie d’un angle

Définition
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Exemple :

Voici un angle \widehat{BAC} de sommet A La droite (AD) est la bissectrice de l’angle \widehat{BAC}. Elle partage cet angle en deux angles de même mesure : \widehat{BAD} et \widehat{DAC}

4) Construction de la bissectrice d’un angle

On va utiliser les propriétés précédentes pour construire la bissectrice d’un angle \widehat{BAC} de sommet A, à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas. Voici les étapes de construction :

  • On trace un cercle de centre A.
  • Ce cercle coupe la demi-droite [AB) en K et la demi-droite [AC) en L.
  • On trace deux cercles de même rayon valant par exemple KL, dont l’un a comme centre K et l’autre comme centre L
  • Ces deux cercles se coupent en deux points. On choisit un des deux, par exemple D.
  • La droite (AD) est la bissectrice de l’angle \widehat{BAC}.

Pourquoi la droite (AD) est-elle la bissectrice de l’angle \widehat{BAC} ?

Les points K et L appartiennent au cercle de centre A, donc les distances AK et AL sont égales. Par conséquent le point A est sur la médiatrice du segment [KL].

D est un point d’intersection des cercles de centre K et L de même rayon. donc les distances DK et DL sont égales. Par conséquent le point D est sur la médiatrice du segment [KL].

On en conclut que la droite (AD) est la médiatrice du segment [KL]. Par pliage selon la droite (AD), on comprend que la droite (AK) va se superposer à la droite (AL) et que l’angle \widehat{BAC} va être divisé en deux angles de même mesure.

V – Axes de symétrie des figures usuelles

Propriété
  • Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est à la fois la médiatrice de sa base et la bissectrice de son angle principal.
  • Conséquence : Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.

Explication : Par pliage selon a médiatrice de sa base, un des deux angles verts va recouvrir exactement l’autre angle vert.

Propriété

  • Un losange a deux axes de symétrie qui sont ses diagonales.
  • Conséquence : Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Explication : Un losange peut se décomposer en deux triangles isocèles. Les diagonales du losange sont les médiatrices des triangles isocèles.

Propriété

  • Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie qui sont à la fois les médiatrices de ses côtés et les bissectrices de ses angles.
  • Conséquence : Dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même mesure (60°).

Explication : Un triangle équilatéral est pour chacun de ses sommets un triangle isocèle.

Propriété

  • Un rectangle a deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés.
  • Conséquence :Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.

Explication : un rectangle peut se découper en quatre triangles isocèles.

Propriété

  • Un carré a quatre axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés et ses diagonales.
  • Conséquence : Dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur.

Explication : Un carré est à la fois un losange et un rectangle.