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Suites

Monotonies

    \[ \text{On \'etudie } u_{n+1} - u_n \text{ ou } \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \text{ si la suite est positive.} \]

Suites arithmétiques

    \[ u_n = u_p + (n-p)r \qquad \qquad \sum_{k=p}^n u_k = (n-p+1) \dfrac{u_p + u_n}{2} \]

Suites géométriques

    \[ u_n = u_p q^{n-p} \]

Autres suites

Suites arithmético-géométriques : On étudie le point fixe de sa fonction affine associée.

Suite définie par des récurrences linéaires d’ordre 2 : Pour calculer explicitement son terme général, on étudie les solutions de son équation caractéristique. Cela ressemble aux équations différentielles d’ordre 2. Les deux constantes sont déterminées par les deux premiers termes de la suite.

CONVERGENCE

Soit (u_n) une suite positive et q \in ]0;1[. Si à partir d’un certain rang, \dfrac{u_{n+1}}{u_n} < q alors la suite converge vers 0.

  • Toute suite convergente est bornée.
  • Toute suite croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) est convergente.
  • Toute suite croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. minorée) a une limite infinie.

Soit l = \lim u_n et soient (a,b) \in \mathbb{R} tels que a < l < b alors à partir d’un certain rang, a < u_n < b.

Soit l = \lim u_n. Alors u_n est du signe de l à partir d’un certain rang.

\lim u_n = +\infty et (v_n) minorée, alors \lim u_n + v_n = +\infty.

\lim u_n = +\infty et (v_n) minorée par un nombre strictement positif, alors \lim u_n v_n = +\infty.

Soient v_n = u_{2n}, \quad w_n = u_{2n+1}

    \[ \lim v_n = \lim w_n = l \implies \lim u_n = l \qquad \qquad \lim v_n \ne \lim w_n \implies (u_n) \text{ diverge.} \]

Cas particulier du théorème des gendarmes : S’il existe (\varepsilon_n)  convergente vers 0 telle que \lvert u_n \rvert \le \varepsilon_n alors (u_n) converge vers 0.

Suites adjacentes : Soient une suite (u_n) croissante et une suite (v_n) décroissante tel que \lim (v_n - u_n) = 0, alors ces deux suites convergent vers la même limite l telle que u_n \le l \le v_n.

Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

Conséquence : Pour montrer qu’une suite diverge, il suffit de trouver deux suites extraites qui n’admettent pas la même limite.

Suite de Cauchy : \forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}, \exists N \in \mathbb{N} tel que \forall (p,q) \in \mathbb{N}^2, p>N, q>N, \lvert u_n - v_n \rvert \le \varepsilon

Toute suite de Cauchy est bornée. Toute suite de Cauchy dans \mathbb{R} est convergente.

Suite définie par une fonction : u_{n+1} = f(u_n)

  • Si f est continue et si \lim u_n = l alors f(l)=l.
  • Si f croissante alors (u_n) monotone et son sens de variation est donné par le signe de u_1 - u_0.
  • f(l)=l. Si u_0 < l alors la suite (u_n) est majorée par l; sinon elle est minorée.
  • Si f est décroissante alors f \circ f est croissante. Les suites (u_{2n}) et (u_{2n+1}} sont monotone et de sens de variation contraire.

Suite complexe

u_n = v_n + i w_n \quad (v_n), (w_n) suites réelles.

(u_n) converge si et seulement si (v_n) et (w_n) convergent et dans ce cas : \lim⁡ u_n = \lim v_n + i \lim w_n.

NOTATIONS DE LANDAU

    \[ u_n = O(v_n) \iff \dfrac{u_n}{v_n} \text{ born\'ee \`a partir d'un certain rang} \]

    \[ u_n = o(v_n) \iff \lim \dfrac{u_n}{v_n} = 0 \qquad \qquad u_n \sim v_n \iff \lim \dfrac{u_n}{v_n} = 1 \]

    \[ \ln^\beta n \ll n^\alpha \ll \alpha^n \ll n! \ll n^n  \]

  • u_n = o(v_n), v_n = o(w_n) \implies u_n = o(w_n)
  • u_n = o(v_n), u_n' = o(v_n') \implies u_n u_n' = o(v_n v_n')
  • u_n = o(v_n) et si les deux suites ne s’annulent plus à partir d’un certain rang, alors \dfrac{1}{v_n} = o \left ( \dfrac{1}{u_n} \right )
  • u_n = o(v_n), u_n' = o(v_n) \implies u_n + u_n' = o(v_n)
  • u_n = o(v_n) \implies \lambda u_n = o(v_n), u_n w_n = o(v_n w_n), \lvert u_n \rvert = o(\lvert v_n \rvert)
  • Propriétés identiques pour O (domination)
  • \sim est une relation d’équivalence dans l’ensemble des suites
  • u_n \sim v_n, u_n' \sim v_n' \implies u_n u_n' \sim v_n v_n'
  • u_n \sim v_n et si les deux suites ne s’annulent plus à partir d’un certain rang, alors \dfrac{1}{v_n} \sim \dfrac{1}{u_n}
  • u_n \sim v_n \implies \lambda u_n \sim \lambda v_n, \lvert u_n \rvert \sim \lvert v_n \rvert
  • u_n \sim v_n, v_n = o(w_n) \implies u_n = o(w_n)
  • u_n =o(v_n) \implies u_n = O(v_n)
  • u_n \sim v_n \implies u_n = O(v_n), u_n = v_n + o(v_n)

Deux suites équivalentes sont de même nature. Si elles ne s’annulent pas à partir d’un certain rang, elles sont de même signe. Si l’une converge, l’autre converge vers la même limite.