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Somme de carrés dans un rectangle

Étant donnés un rectangle ABCD et un point quelconque M situé dans le rectangle, on démontre l’égalité suivante :

MA2 + MC2 = MB2 + MD2

Explications :

On complète la figure en plaçant les points E, F, G et H, projections orthogonales respectives de M sur [AB], [BC], [CD] et [DA]. On utilise le théorème de Pythagore :

  • MA2 = MH2 + HA2 = MH2 + FB2
  • MB2 = MF2 + FB2
  • MC2 = MF2 + FC2 = MF2 + HD2
  • MD2 = MH2 + HD2
  • MA2 + MC2 = MH2 + FB2 + MF2 + HD2
  • MB2 + MD2 = MF2 + FB2 + MH2 + HD2

Donc MA2 + MC2 = MB2 + MD2

Remarque : Cette égalité reste vraie si M se situe en dehors du rectangle. On le démontre encore avec Pythagore.