La matrice de dans les bases
et
est
et est notée
. La jème colonne
donne les coordonnées de
dans la base
. Le nombre de colonnes est donné par la dimension de l’espace de départ, et le nombre de lignes par celle de l’espace d’arrivée.
définie par
est un isomorphisme d’espace vectoriel. Donc dim
.
triangulaire supérieure si et seulement si
. C’est-à-dire si et seulement si
est stable par
.
Soit :
projecteur si et seulement si
symétrie si et seulement si
nilpotent si et seulement si
Soit .
inversible si et seulement si
est inversible. De plus
Soit est une base de
si et seulement si
est inversible.
Soit et
une application linéaire associée à
:
- Ker
, SEV de
. C’est l’ensemble des solutions de l’équation
.
- Im
, SEV de
engendré par les colonnes de
.
injective si et seulement si Ker
surjective si et seulement si Im
Matrice de passage
est la matrice représentative de l’application identité
, de
muni de la base
dans
muni de la base
.
Double changement de base pour une application linéaire
Application linéaire canoniquement associée
Soit . L’application linéaire canoniquement associée à
est
de
vers
dont une matrice associée est
.
Rang de A :
- rg
rg
. C’est le rang de la famille de ses vecteurs colonne.
- rg
inf
- dim Ker
+ rg
Matrice canonique d’une application linéaire
Soient dim , dim
et
de rang
.
Alors il existe une base de et une base de
telles que la matrice de
sur ces deux bases soit, en l’écrivant par blocs :
MATRICES SEMBLABLES
Deux matrices carrées et
sont semblables s’il existe une matrice inversible
telle que
.
Deux matrices carrées et
sont semblables si elles représentent le même endomorphismes pour deux bases différentes.
Deux matrices semblables ont le même déterminant.
Soient et
deux matrices semblables et
, les matrices
et
sont semblables.