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Représentations matricielles

    \[ B_E = (e_1,e_2,\dots,e_p) \qquad B_F=(f_1,f_2,\dots,f_n) \qquad \phi \in L(E,F) \qquad \phi(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} f_i \]

La matrice de \phi dans les bases B_E et B_F est (a_{ij}) \in M_{n,p} (\mathbb{K}) et est notée Mat_{B_E B_F} (\phi). La jème colonne (a_{ij}) donne les coordonnées de \phi(e_j) dans la base B_F. Le nombre de colonnes est donné par la dimension de l’espace de départ, et le nombre de lignes par celle de l’espace d’arrivée.

\psi : L(E,F) \longrightarrow M_{n,p} (\mathbb{K}) définie par \psi(\phi) = Mat_{B_E B_F} (\phi) est un isomorphisme d’espace vectoriel. Donc dim L(E,F) = np.

Mat_{B_E} (\phi) triangulaire supérieure si et seulement si \forall k \in [\![1,p]\!], \phi ( Vect (e_1,e_2,\dots,e_k)) \subset Vect (e_1,e_2,\dots,e_k). C’est-à-dire si et seulement si Vect (e_1,e_2,\dots,e_k) est stable par \phi.

Soit A = Mat_{B_E} (\phi) :

  • \phi projecteur si et seulement si A^2 = A
  • \phi symétrie si et seulement si A^2 = Id_E
  • \phi nilpotent si et seulement si \exists p \in \mathbb{N}, A^p = 0

Soit A = Mat_{B_E B_F} (\phi). \phi inversible si et seulement si A est inversible. De plus Mat_{B_F B_E} (\phi^{-1}) = A^{-1}

Soit A = Mat_{B_E} (u_1,u_2,\dots,u_p ). \qquad (u_1,u_2,\dots,u_p) est une base de E si et seulement si A est inversible.

Soit A \in M_{n,p} (\mathbb{K}) et f une application linéaire associée à A :

  • Ker A = \{ X \in M_{p,1} (\mathbb{K}), AX = 0 \}, SEV de \mathbb{K}^p. C’est l’ensemble des solutions de l’équation AX = 0.
  • Im A = \{ AX, X \in M_{p,1} (\mathbb{K}) \}, SEV de \mathbb{K}^n engendré par les colonnes de A.
  • f injective si et seulement si Ker A = \{0\}
  • f surjective si et seulement si Im A = M_{n,1} (\mathbb{K})

Matrice de passage

B = (e_1,e_2,\dots,e_n) \quad B' = (f_1,f_2,\dots,f_n) \quad P_{BB'} est la matrice représentative de l’application identité Id_E, de E muni de la base B' dans E muni de la base B \qquad  P_{BB'} = Mat_{B'B} (Id_E) \qquad P_{B'B} = {P_{BB'}}^{-1}.

    \[ X =  \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \text{ et } X' =  \left( \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{array} \right) \text{ coordonn\'ees de } x \text{ dans les bases } B \text{ et } B' \longrightarrow X = P_{BB'} X' \]

Double changement de base pour une application linéaire

    \[ f \in L(E,F) \quad P = P_{B_E B_E'} \quad Q = P_{B_F B_F'} \quad A = Mat_{B_E B_F} (\phi) \quad A' = Mat_{B_E' B_F'} (\phi) \quad A' = Q^{-1} A P \]

    \[ f \in L(E) \qquad A = Mat_{B_E B_E'} \qquad A' = P^{-1} A P \]

Application linéaire canoniquement associée

Soit A \in M_{n,p} (\mathbb{K}). L’application linéaire canoniquement associée à A est u_A de \mathbb{K}^p vers \mathbb{K}^n dont une matrice associée est A.

Rang de A :

  • rg (A) = rg (u_A). C’est le rang de la famille de ses vecteurs colonne.
  • rg (A) \le inf ⁡(n,p)
  • dim Ker (A)) + rg (A) = p

Matrice canonique d’une application linéaire

Soient dim E = p, dim F = n et f \in L(E,F) de rang r \ge 1.
Alors il existe une base de E et une base de F telles que la matrice de f sur ces deux bases soit, en l’écrivant par blocs :

    \[ \left(   \begin{array}{ c c }      I_r & 0 \\      0 & 0   \end{array} \right) \in M_{n,p} (\mathbb{K}) \]

MATRICES SEMBLABLES

Deux matrices carrées A et B sont semblables s’il existe une matrice inversible P telle que B=P^{-1}AP.

Deux matrices carrées A et B sont semblables si elles représentent le même endomorphismes pour deux bases différentes.

Deux matrices semblables ont le même déterminant.

Soient A et B deux matrices semblables et P \in \mathbb{K}[X], les matrices P(A) et P(B) sont semblables.