Étant donnée une longueur a, on veut construire un rectangle et un carré de même aire. On impose que a soit la plus grande longueur du rectangle.
Construction :
- On trace un segment [AB] de longueur a.
- On trace la perpendiculaire à (AB) passant par B.
- On place le point D tel que BD = AB / 2.
- On trace le segment [AD].
- On place le point E intersection de (AD) et du cercle de centre D et de rayon BD.
- On place le point C intersection de (AB) et du cercle de centre A et de rayon AE.
- On place le point F intersection de (BD) et du cercle de centre B et de rayon BC, puis on complète le rectangle ABFG.
- On trace le carré de côté AC. Ce carré et le rectangle possède la même aire.
Explications :
Le théorème de pythagore dans le triangle ABD donne : . Donc
.
L’aire du carré est :
La hauteur du rectangle est
L’aire du rectangle est = . On retrouve bien l’aire du carré.
Est-ce la seule solution ?
Supposons qu’une telle solution existe, à savoir un rectangle de longueur et de hauteur
et un carré de côté
avec
, tels que leur aire soit égale. L’aire du rectangle est
et l’aire du carré est
. L’équation à résoudre est alors :
, soit
. Le discriminant est
. L’équation possède deux solutions :
et
. La première solution ne peut pas être retenue car
. Il reste donc
. Le côté du carré est
. On retrouve la solution et elle est unique.