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Rayon du cercle inscrit dans un triangle

Étant donné le triangle ABC, on construit le cercle inscrit ainsi :

  1. On trace deux bissectrices, par exemple celles issues de A et de B, qui se coupent au point O. (La figure inclut la 3ème bissectrice mais ce n’est pas nécessaire).
  2. On réalise la projection orthogonale de O sur l’un des côtés du triangle, par exemple D.
  3. Le cercle inscrit est le cercle de centre O passant par D.

Le rayon du cercle inscrit est égal à deux fois l’aire du triangle divisée par son périmètre : r = \dfrac{2S}{P}

Explications :

On complète la figure avec les points E et F, projections orthogonales de O sur (AC) et (AB). Comme (OA) est la bissectrice de l’angle \widehat{BAC}, on peut affirmer que OF = OE. On montre de la même façon que OE = OD. Notons r = OD = OE = OF.

Soient S l’aire du triangle ABC et P son périmètre. S est la somme des aires des six triangles rectangles formant ABC. Par exemple, l’aire du triangle AFO est \dfrac{AF \times FO}{2} = \dfrac{AF \times r}{2}.

Alors S = \dfrac{(BF + FA + BD + DC + AE + EC) \times r}{2} = \dfrac{P \times r}{2}. Ce qui donne bien r = \dfrac{2S}{P}.

Cas particuliers :

Si le triangle est rectangle avec des côtés de longueurs a, b et c, alors P = a + b + c et S = \dfrac{ab}{2}, soit r = \dfrac{ab}{a + b + c}.

On montre facilement que (a + b + c)(a + b - c) = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab. Or le triangle étant rectangle, nous avons l’égalité : a^2  + b^2 = c^2. Par conséquent (a + b + c)(a + b - c) = 2ab donc a + b - c = \dfrac{2ab}{a + b + c}. Conclusion r = \dfrac{a + b - c}{2}.

Si on considère le fameux triangle (rectangle) de Pythagore pour lequel a = 3, b = 4 et c = 5, le rayon du cercle inscrit vaut donc la moitié de 3 + 4 – 5, soit 1.