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Rayon du cercle inscrit dans un triangle

Étant donné le triangle ABC, on construit le cercle inscrit ainsi :

  1. On trace deux bissectrices, par exemple celles issues de A et de B, qui se coupent au point O. (La figure inclut la 3ème bissectrice mais ce n’est pas nécessaire).
  2. On réalise la projection orthogonale de O sur l’un des côtés du triangle, par exemple D.
  3. Le cercle inscrit est le cercle de centre O passant par D.

Le rayon du cercle inscrit est égal à deux fois l’aire du triangle divisée par son périmètre : r = 2S / P

Explications :

On complète la figure avec les points E et F, projections orthogonales de O sur (AC) et (AB). Comme (OA) est la bissectrice de l’angle BAC, nous savons que les distances OF et OE sont égales. On démontre de la même façon que OE = OD. Soit r = OD = OE = OF.

Soient S l’aire du triangle ABC et P son périmètre. S est la somme des aires des six triangles rectangles formant ABC. Par exemple, l’aire du triangle AFO est AF x FO / 2 soit AF x r / 2.

On établit alors S = (BF + FA + BD + DC + AE + EC) x r / 2. Donc S = P x r / 2. Ce qui donne bien r = 2S / P.

Cas particuliers :

Si le triangle est rectangle avec des côtés de longueurs a, b et c, alors P = a + b + c et S = ab/2, soit r = ab / (a + b + c).

On montre facilement que (a + b + c)(a + b – c) = a2  + b2 – c2 + 2ab. Or le triangle étant rectangle, nous avons l’égalité : a2  + b2 = c2. Par conséquent (a + b + c)(a + b – c) = 2ab donc a + b – c = 2ab / (a + b + c). Conclusion r = (a + b – c)/2.

Si on considère le fameux triangle (rectangle) de Pythagore pour lequel a = 3, b = 4 et c = 5, le rayon du cercle inscrit vaut donc la moitié de 3 + 4 – 5, soit 1.