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Puissances

Définitions
Soit a un réel quelconque et soit n un entier naturel. a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}}

  • a^0 = 1 et a^1 = a
  • a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}
Exemples : 2^{10 }= 1024 et 2^{-4} = \dfrac{1}{16} = 0,0625

Cas particuliers : 10^n = \underbrace{10 \dots 0}_{n \mbox{ zéros}} et 10^{-n} = \underbrace{0,0 \dots 0}_{n \mbox{ zéros}} 1

Propriétés : Puissances d'un même nombre
Soit a un réel quelconque et soient n et p deux entiers relatifs.

  • a^n \times a^p = a^{n+p}
  • \dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}, avec a \ne 0
  • (a^n)^p = a^{np}

Exemples :

  • 2^3 \times 2^4 = 8 \times 16 = 128 = 2^7
  • \dfrac{3^4}{3^2} = \dfrac{81}{9} = 9 = 3^2
  • (10^2)^3 = (100)^3 = {1 \:000 \: 000} = 10^6

Démonstrations :

a^n \times a^p = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{p \mbox{ fois}} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n+p \mbox{ fois}} = a^{n+p}

\dfrac{a^n}{a^p} = a^n \times \dfrac{1}{a^p} = a^n \times a^{-p} = a^{n-p} d’après la propriété précédente.

    \[ (a^n)^p = \underbrace{a^n \times a^n \times \cdots \times a^n}_{p \mbox{ fois}} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} \times \cdots \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} = a^{n \times p} = a^{np} \]

Propriétés : Puissances d'un produit et d'un quotient
Soient a et b deux réels quelconques et soit n un entier relatif.

  • (a \times b)^n =a^n \times b^n
  • \left ( \dfrac{a}{b} \right ) ^n = \dfrac{a^n}{b^n}, avec b \ne 0

Exemples :

  • (3y)^2 = 3y \times 3y = 3 \times y \times 3 \times y = 3 \times 3 \times y \times y  = 3^2 \times y^2 = 9 y^2
  • \left ( \dfrac{y}{2} \right ) ^3 = \dfrac{y}{2} \times \dfrac{y}{2} \times \dfrac{y}{2} = \dfrac{y \times y \times y}{2 \times 2 \times 2} = \dfrac{y^3}{2^3} = \dfrac{y^3}{8}

Démonstrations :

    \[ (a \times b)^n = \underbrace{(a \times b) \times (a \times b) \cdots \times (a \times b)}_{n \mbox{ fois}} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} \times \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \mbox{ fois}} = a^n \times b^n \]

    \[ \left ( \dfrac{a}{b} \right ) ^n = \left ( a \times \dfrac{1}{b} \right ) ^n = a^n \times \left ( \dfrac{1}{b} \right ) ^n = a^n \times (b^{-1})^n = a^n \times b^{(-1) \times n} = a^n \times b^{-n} = \dfrac{a^n}{b^n} \]