Puissances

Définitions
Soit a un réel quelconque et soit n un entier naturel. a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}}

  • a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}
Exemples : 2^{10 }= 1024 et 2^{-4} = \dfrac{1}{16} = 0,0625 = 5^4 \times 10^{-4}

Cas particuliers : 10^n = \underbrace{10 \dots 0}_{n \mbox{ zéros}} et 10^{-n} = \underbrace{0,0 \dots 0}_{n \mbox{ zéros}} 1

Propriétés : Puissances d'un même nombre
Soit a un réel quelconque et soient n et p deux entiers relatifs.

  • a^n \times a^p = a^{n+p}
  • \dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}, avec a \ne 0
  • (a^n)^p = a^{np}

Exemples :

  • 2^3 \times 2^4 = 8 \times 16 = 128 = 2^7
  • \dfrac{3^4}{3^2} = \dfrac{81}{9} = 9 = 3^2
  • (10^2)^3 = (100)^3 = {1 \:000 \: 000} = 10^6

Démonstrations :

a^n \times a^p = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{p \mbox{ fois}} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n+p \mbox{ fois}} = a^{n+p}

\dfrac{a^n}{a^p} = a^n \times \dfrac{1}{a^p} = a^n \times a^{-p} = a^{n-p} d’après la propriété précédente.

    \[ (a^n)^p = \underbrace{a^n \times a^n \times \cdots \times a^n}_{p \mbox{ fois}} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} \times \cdots \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} = a^{n \times p} = a^{np} \]

Conséquence
Soit a un réel quelconque, a^0 = 1 et a^1 = a

Démonstrations :

D’une part \dfrac{a^2}{a^2}= 1 et d’autre part, d’après une propriété précédente : \dfrac{a^2}{a^2} = a^{2-2}=a^0. Par conséquent a^0=1.

D’une part \dfrac{a^3}{a^2}= \dfrac{a \times a^2}{a^2} = a et d’autre part, d’après une propriété précédente : \dfrac{a^3}{a^2} = a^{3-2}=a^1. Par conséquent a^1=a.

Propriétés : Puissances d'un produit et d'un quotient
Soient a et b deux réels quelconques et soit n un entier relatif.

  • (a \times b)^n =a^n \times b^n
  • \left ( \dfrac{a}{b} \right ) ^n = \dfrac{a^n}{b^n}, avec b \ne 0

Exemples :

  • (3y)^2 = 3y \times 3y = 3 \times y \times 3 \times y = 3 \times 3 \times y \times y = 3^2 \times y^2 = 9 y^2
  • \left ( \dfrac{y}{2} \right ) ^3 = \dfrac{y}{2} \times \dfrac{y}{2} \times \dfrac{y}{2} = \dfrac{y \times y \times y}{2 \times 2 \times 2} = \dfrac{y^3}{2^3} = \dfrac{y^3}{8}

Démonstrations :

    \[ (a \times b)^n = \underbrace{(a \times b) \times (a \times b) \cdots \times (a \times b)}_{n \mbox{ fois}} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \mbox{ fois}} \times \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \mbox{ fois}} = a^n \times b^n \]

    \[ \left ( \dfrac{a}{b} \right ) ^n = \left ( a \times \dfrac{1}{b} \right ) ^n = a^n \times \left ( \dfrac{1}{b} \right ) ^n = a^n \times (b^{-1})^n = a^n \times b^{(-1) \times n} = a^n \times b^{-n} = \dfrac{a^n}{b^n} \]

Définition : Notation scientifique
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme a \times 10^n, avec a \in ]-10 ; 10 [ \: \cap \: \mathbb{D} et n \in \mathbb{Z}.

Exemples :

  • Distance moyenne Terre – Soleil en km : 149 \: 600 \: 000 = 1,496 \times 10^8
  • Diamètre maximal du virus SARS-CoV-2 en mm : 0,000 \ 14 =1,4 \times 10^{−4}

Ordre de grandeur : La notation scientifique permet de trouver immédiatement l’ordre de grandeur d’un nombre.

Une année-lumière = 9,46 \times 10^{15} m. L’ordre de grandeur de l’année lumière est : 10^{16} m

EXERCICES

Exercice n°1 : Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a et n sont des entiers relatifs.

    \[ A = 5^3 \times 5^8 \qquad B = 7^{-4} \times 7^5 \qquad C = (-3)^6 \times (-3)^9 \qquad D = \dfrac{4^7}{4^4} \qquad E = \dfrac{10^{14}}{10^{20}} \qquad \dfrac{9^{-5}}{9^{11}} \]

Exercice n°2 : Écrire les nombres suivants sous la forme 10^n, où n est un entier relatif.

    \[ A = \dfrac{10^7}{10^3 \times 10^2} \qquad \qquad B = \dfrac{10^{-7} \times 10^8}{10^5} \qquad \qquad C = \dfrac{ (10^{-2})^4 }{10^{14}} \]

Exercice n°3 : Écrire les expressions suivantes sous la forme a^n \times b^p où a et b sont des réels non nuls et où n et p sont des entiers relatifs.

    \[ A = \left ( \dfrac{a}{b} \right ) ^3 \qquad \qquad B = \dfrac{(ab)^5}{a^4} \qquad \qquad C = \dfrac{a^4}{a^3 \times b^{-7}} \qquad \qquad D = \left ( \dfrac{b}{a} \right ) ^4 \times a^2 \]

Exercice n°4 :

  • Calculer A = 3^3 \times (23 - 5^2)^3 +(2 - 3)^4
  • Donner l’écriture scientifique de B = \dfrac{16 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^4}{14 \times (10^3)^3}

Exercice n°5 : Parmi les calculs suivants, lesquels ont pour résultat 7^5

    \[ (7^2)^3 \qquad 7^2 \times 7^3 \qquad \dfrac{7^2}{7^3} \qquad 7^8 \times 7^{-3} \qquad \dfrac{7^9}{7^4} \qquad (7^{-1})^{-5} \qquad \dfrac{7^{12} \times 7^5}{(7^4)^3} \qquad \dfrac{7^4}{7^{-9} \times 7^8} \]

Exercice n°6 : Écrire les nombres suivants sous la forme 3^n, où n est un entier relatif.

    \[ A = 27 \times 9^5 \qquad \qquad B = \dfrac{81^4 \times 9^{-2}}{27^{-3}} \qquad \qquad C = 9^{-3} \times 81^2 \]

Exercice n°7 :

  • Le nombre A = 2 \times 5^3 \times 11^4 est-il multiple de B =5^2 \times 11
  • Les nombres C = 4^{2^3} et D = (4^2)^3 sont-ils égaux ?

Exercice n°8 : Donner l’écriture scientifique des nombres suivant :

    \[ A = \dfrac{2 \times (10^{-5}^4 \times 12 \times 10^3}{3 \times 10^8} \qquad \qquad B = \dfrac{32 \times 10^{-3} \times 5 \times (10^2)^3}{4 \times 10^{-2}} \]

Exercice n°9 : Écrire A et B sous la forme x^n, où x est un réel non nul et n est un entier relatif.

    \[ A = x^4 \times (x^{-2})^3 \times x^5 \qquad \qquad B = \dfrac{x^7}{x^8 \times x^{-5}} \]

Exercice n°10 : Écrire C, D, E et F sous la forme a^n \times b^p où a et b sont des réels non nuls et n et p sont des entiers relatifs

    \[ C = (a^3 \times b)^2 \qquad \qquad D = \left ( \dfrac{a}{b} \right ) ^3 \times a^{-2} \qquad E = (a^{-5} \times b^{-2})^{10} \qquad \qquad F = \left ( \dfrac{a}{b^2} \right ) ^{-2} \times \left ( \dfrac{1}{a^3} \right )^5 \]

Voir la solution

C = (a^3)^2 \times b^2 = a^6 \times b^2

D = \dfrac{a^3}{b^3} \times a^{-2} = a^3 \times b^{-3} \times a^{-2} = a \times b^{-3}

E = (a^{-5})^{10} \times (b^{-2})^{10} = a^{-50} \times b^{-20}

F = \dfrac{a^{-2}}{(b^2)^{-2}} \times (a^{-3})^5 =\dfrac{a^{-2}}{b^{-4}} \times a^{-15} = a^{-2} \times b^4 \times a^{-15} = a^{-17} \times b^4

Exercice n°11 : Écrire A, B et C sous la forme 2^n où n est un entier relatif.

    \[ A = 2^n \times 2^{n-1} \qquad \qquad B = \dfrac{2^{3-n} \times 2^{n+2}}{2^{-4n}} \qquad \qquad C = (2^{n-1})^3 \times 2^{-n} \]

Voir la solution

A = 2^{n + n -1} = 2^{2n-1}

B = 2^{3-n+n+2+4n} = 2^{5+4n}

C = 2^{3(n-1)-n} = 2^{2n-3}

Exercice n°12 : La lune tourne autour de la Terre selon une orbite elliptique. La distance moyenne Terre-Lune est environ 384 400 km. On dispose d’une très (très) grande feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur. On plie cette feuille plusieurs fois sur elle-même et on admet qu’il est physiquement possible d’effectuer ces pliages autant de fois que souhaité. Combien de pliages seront nécessaires pour créer une colonne en papier d’une hauteur permettant d’atteindre la Lune ?

Voir la solution

1 km = 10^3 m et 1 m = 10^3 mm donc 1 km = 10^3 \times 10^3 = 10^6 mm.

Par conséquent la distance Terre-Lune est de 384 400 km = 3,844 \times 10^5 km = 3,844 \times 10^5 \times 10^6 mm = 3,844 \times 10^{11} mm.

Chaque pliage double l’épaisseur de la colonne de papier. Donc après n pliages, la hauteur de papier sera de 0,1 \times 2^n mm.

A l’aide de la calculatrice, on va par essais successifs trouver la valeur de n telle que 0,1 \times 2^n > 3,844 \times 10^{11}, soit 2^n > \dfrac{3,844 \times 10^{11}}{0,1}, c’est-à-dire 2^n > 3,844 \times 10^{12} puisque 0,1 = 10^{-1}

On trouve n=42 et 0,1 \times 2^{42} = 439 \, 804 \, 651 \, 110,4.

Autrement dit, en pliant 42 fois une feuille de papier dont l’épaisseur n’est que d’un dixième de millimètre, on obtient une colonne de papier dont la hauteur dépasse la distance Terre-Lune ! Contre-intuitif non ?

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