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Puissance d’un point par rapport à un cercle – cas particulier

Étant donné un cercle de centre O et un point d’appartenant par au cercle, on trace la tangente au cercle passant par A et la droite (AO). La tangente rencontre le cerce en C et les deux points d’intersection de (AO) et du cercle sont B et D. On démontre que AC^2 = AD \times AB ainsi :

(AC) est la tangente au cercle en C donc les droite (OC) et (AC) sont perpendiculaires, donc AC^2 = AO^2 - OC^2.

AO^2 - OC^2 = (AO - OC)(AO + OC) = (AO - OD)(AO + OB) puisque OB = OC = OD.

Donc AC^2 = AD \times AB.

Remarque : Il s’agit d’un cas particulier de calcul de puissance d’un point par rapport à un cercle. C’est la situation extrême où les points A et C sont confondus.

Remarque : la réciproque est exacte. Dans les conditions identiques, si AC^2 = AD \times AB alors la droite (AC) sera tangente au cercle en C.

Remarque : Il s’agit des propositions III.36 et III.37 des Éléments d’Euclide.