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Produit scalaire

Forme bilinéaire symétrique définie positive

\phi une application de E \times E dans \mathbb{R} est une FBDP si et seulement si :

  • bilinéaire : linéaire par rapport à chaque variable : \phi (\alpha x + \alpha' x',y) = \alpha \phi(x,y) + \alpha \phi (x',y)
  • symétrique : \phi (x,y) = \phi (y,x)
  • définie : \phi (x,x) = 0 \iff x = 0_E
  • positive : \phi(x,x) \le 0

Un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien réel. Si E de dimension finie, c’est un espace euclidien.

Dans la suite on se situera dans un espace préhilbertien réel.

Norme euclidienne

Application de E dans \mathbb{R}, qui à x associe \lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x.x}

Égalité du parallélogramme : 2 ( \lVert x \rVert ^2 + \lVert y \rVert ^2) = \lVert x + y \rVert ^2 +\lVert x - y \rVert ^2

Inégalité de Cauchy-Schwarz (Égalité si les vecteurs sont colinéaires) : \lvert x \cdot y \rvert \le \lVert x \rVert \lVert y \rVert

Inégalité triangulaire : \lVert x + y \rVert \le \lVert x \rVert + \lVert y \rVert \qquad \left \lvert \lVert x \rVert - \lVert y \rVert \right \rvert \le \lVert x - y \rVert

Orthogonalité

Théorème de Pythagore : x \perp y \iff \lVert x + y \rVert ^2 = \lVert x \rVert ^2 + \lVert y \rVert ^2

Parties orthogonales : A \perp B \iff \forall (x,y) \in A \times B \quad x \cdot y = 0

L’orthogonal de A : A^\perp = \{ x \in E, \forall a \in A, x \cdot a = 0 \}

A^\perp est un SEV de E \qquad E^\perp = \{ 0 \} \qquad \{ 0 \}^\perp = E

x = y \iff \forall z \in E, \quad x \cdot z = y \cdot z

Si A = \text{Vect } (e_1,e_2,\dots,e_p) alors x \in A^\perp \iff \forall i \in [\![1,p]\!], x \perp e_i

A \subset B \implies B^\perp \subset A^\perp \qquad \text{et} \qquad A \subset (A^\perp)^\perp

(x_1,x_2,\dots,x_p) est une famille orthogonale si et seulement si \forall i, j \in [\![1,p]\!],i \ne j, x_i \perp x_j

Toute famille orthogonale composée de vecteurs tous non nuls est libre.

Une famille orthonormale est une famille orthogonale dont les tous les éléments ont une norme unitaire.