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Probabilités

I. VOCABULAIRE

1) Univers d’une expérience aléatoire

Définitions :

  • Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l’on ne peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée.
  • L’ensemble \Omega = \{ x_1, x_2, \dots, x_n\} des issues possibles est appelé l’univers de cette expérience aléatoire.

2) Évènement d’un univers

Définitions :

  • Un évènement A est un sous-ensemble (ou une partie) de l’univers \Omega d’une expérience aléatoire. On note A \subset \Omega (lire : A inclus dans \Omega).
  • Dire qu’une issue x_i de \Omega réalise l’évènement A signifie que x_i est un élément de A. On note x_i \in A (lire : x_i appartient à A).

Événements particuliers :

  • Le sous-ensemble \{x_i\} qui ne contient qu’une seule issue est appelé évènement élémentaire.
  • L’ensemble vide, noté \O, est appelé évènement impossible : aucune issue n’appartient à cet ensemble.
  • L’univers \Omega est l’évènement qui contient toutes les issues. Il est appelé évènement certain.

3) Évènement contraire

Définition :

Soit A un évènement d’un univers \Omega. L’évènement contraire de l’évènement A est formé des issues ne réalisant pas A. On le note \overline{A}.

4) Intersection d’évènements

Définition :

L’intersection des évènements A et B est l’évènement formé des issues réalisant à la fois A et B. On le note A \cap B et on lit : A inter B.

5) Réunion d’évènements

Définition ;

La réunion des évènements A et B est l’évènement formé des issues réalisant à la fois A ou B, c’est-a-dire au moins l’un de ces deux évènements. On le note A \cup B et on lit : A union B.

II. PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI

1) Loi de probabilité sur un ensemble fini

\Omega = \{ x_1, x_2, \dots, x_n\} désigne l’univers d’une expérience aléatoire.

Définition :

Définir une loi de probabilité sur \Omega, c’est associer à chaque issue x_i de \Omega, un nombre p_i, appelé probabilité de x_i tel que :

  • 0 \le p_i \le 1 pour tous les p_i
  • p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1

Définition :

Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité p de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.

\bigstar Propriété : Puisque cette expérience aléatoire possède n issues, p = \dfrac{1}{n}.

Démonstration : on sait que la somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1. Puisqu’il y a équiprobabilité, toutes les issues ont la même probabilité p donc :

    \[ \underbrace{p + p + \cdots + p}_{n \text{ fois}} = 1 \quad \text{soit} \quad n \imes p = 1 \quad \text{et} \quad p = \dfrac{1}{n} \]

2) Modélisation d’une expérience aléatoire

Modéliser une expérience aléatoire d’univers \Omega, c’est choisir une loi de probabilité sur \Omega qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue.

Le choix du modèle peut résulter :

  • d’hypothèses d’équiprobabilité : lancer d’une pièce ou d’un dé non pipé, tirer une boule au hasard dans une urne, …
  • de la réalisation de l’expérience aléatoire un grand nombre de fois. On observe alors que la fréquence de chaque issue se stabilise vers un nombre que l’on choisit pour probabilité de cette issue.

III. CALCULS DE PROBABILITÉS

1) Probabilité d’un évènement

Soit \Omega l’univers d’une expérience aléatoire.

Définition :

La probabilité d’un évènement A, notée P(A), est la somme des probabilités des issues réalisant A.

Conséquences :

    \[ P(\O) = 0 \qquad \qquad P(\Omega) = 1 \qquad \qquad \text{Pour tout \'ev\`enement A,} \quad p \le P(A) \le 1 \]

\bigstar Propriété : En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement A est : \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre d'issues de } \Omega}

Démonstration : Supposons que \Omega ait n issues. La probabilité de chaque issue est \dfrac{1}{n}.
De plus, supposons que l’évènement A ait p issues. Alors

    \[ P(A) = \underbrace{ \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} + \cdots + \dfrac{1}{n}}_{p \text{ fois}} = \dfrac{p}{n} \]

2) Formules de calcul

Définition :

Deux évènements A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent être réalisés tous les deux à la fois. C’est-à-dire que A \cap B = \O, autrement dit que ces deux évènements n’ont aucune issue en commun.

Conséquence : La probabilité de l’union de deux évènements incompatibles est la somme des probabilités de chaque évènement : P(A \cup B) = P(A) + P(B).

\bigstar Propriété : Pour tous évènements A et B, P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

Démonstration : Soit A_1, l’évènement formé des issues de A qui ne sont pas dans B.
Alors A_1 et A \cap B sont incompatibles.
Or A = A_1 \cup (A \cap B) donc P(A) = P(A_1) + P(A \cap B).
Ce qui donne P(A_1) = P(A) - P(A \cap B).

Par ailleurs A_1 et B sont incompatibles.
Or A_1 \cup B = A \cup B donc P(A \cup B) = P(A_1) + P(B) = P(A) - P(A \cap B) + P(B)

Finalement : P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

\bigstar Propriété : Pour tout évènement A, \quad P(A) + P(\overline{A}) = 1

Démonstration : Par définition A et \overline{A} sont des évènements incompatibles et A \cup \overline{A} = \Omega. Donc P(A) + P(\overline{A}) = P(A \cup \overline{A}) = P(E) = 1

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS