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Probabilités

I – Expérience aléatoire

Définition
Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir lequel sera obtenu. Le résultat d’une expérience aléatoire est uniquement dû au hasard.

Étymologie :

  • Hasard : mot d’origine arabe qui voulait dire « dé » puis « chance ».
  • Aléa : vient du mot latin « ales » qui signifie « dé » ou « hasard »

Exemple : Lancer un dé est une expérience aléatoire.

Définition
Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont les issues. Une expérience aléatoire possède au moins deux issues.

Exemple : Lors d’un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, les issues possibles de l’expérience aléatoire sont : \lbrace 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \rbrace.

Définition
Un évènement est un ensemble de plusieurs issues.

Exemple : Lors d’un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, l’évènement « obtenir » un nombre pair contient 3 issues : \lbrace 2 ; 4 ; 6 \rbrace.

Définitions
  • Lorsqu’un évènement ne contient aucune issue, c’est qu’il n’a aucune chance de se réaliser. On dit que c’est un évènement impossible.
  • Lorsqu’un évènement contient toutes les issues d’une expérience aléatoire, c’est qu’il se réalise à chaque fois que l’on tente l’expérience. On dit que c’est un évènement certain.

Exemples : Lors d’un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6,

  • l’évènement « obtenir le chiffre 7 » est impossible.
  • l’évènement « obtenir un nombre inférieur à 7 » est certain.

II – Probabilités

Définition
La probabilité d’un évènement est un nombre entre 0 et 1, qui mesure les chances que cet évènement se réalise.

  • La probabilité d’un évènement impossible est 0.
  • La probabilité d’un évènement certain est 1.
  • Si la probabilité d’un évènement est proche de 0, cet évènement a peu de chances de se réaliser.
  • Si la probabilité d’un évènement est proche de 1, cet évènement a beaucoup de chances de se réaliser.

III – Equiprobabilité

Définition
Lorsque les issues d’une expérience aléatoire ont toutes la même probabilité de se réaliser, c’est-à-dire autant de chances de se réaliser, on dit qu’elles sont équiprobables.

Exemple : Lors d’un lancer de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, le dé n’est pas pipé, alors, on a autant de chances d’obtenir le nombre 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Les issues sont équiprobables.

Propriété

Soit une expérience aléatoire dont le nombre total d’issues possible est N et soit un évènement A de cette expérience qui comporte E issues. Si les issues de cette expérience sont équiprobables, la probabilité de l’évènement A est le quotient \dfrac{E}{N}.

Exemple :

On lance un dé non pipé de dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, On sait que cette expérience possède 6 issues équiprobables.

On veut calculer la probabilité de l’évènement « A : j’obtiens un nombre pair ». L’évènement A comporte 3 issues : 2, 4 et 6. La probabilité de A est : \dfrac{3}{6} = 0,5.

On veut calculer la probabilité de l’évènement « B : j’obtiens un nombre multiple de 3 ». L’évènement B comporte 2 issues : 3 et 6. La probabilité de B est : \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} dont une valeur approchée est 0,33$.