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Points dont les tangentes à un cercle donné forment entre elles un angle de mesure constante

Soient un cercle de centre O et une mesure d’angle \beta fixée. Soit C un point extérieur au cercle tel que les deux tangentes au cercle passant par C fassent entre elles un angle de mesure \beta. Le lieu géométrique des points ayant la même propriété que C est un cercle de centre O.

Explications :

Par construction, le point O est équidistant des droites (CB) et (CA), donc la droite (CO) est la bissectrice de l’angle \widehat{BCA}. Par conséquent \widehat{BCO}=\dfrac{\beta}{2}.

Puisque \beta est une mesure d’angle constante, \sin \dfrac{\beta}{2} est constant. Or \sin \dfrac{\beta}{2} = \dfrac{OB}{OC} Donc OC = \dfrac{OB}{\sin \dfrac{\beta}{2}}.

Comme OB est un rayon du cercle de centre O, sa valeur est constante. On en conclut que la valeur de la distance OC est constante, donc que C décrit un cercle de centre O.