Milieux et cercles

I – Milieu d’un segment

Définition
  • Le milieu du segment [AB] est le point du segment [AB] qui est équidistant (à la même distance) des extrémités A et B.
  • Dit autrement : Le milieu d’un segment coupe ce segment en deux segments de même longueur.

Exemple : Le point A est le milieu du segment [RT]. Cela signifie que les points A,R et T sont alignés et que les distances AR et AT sont égales.

Codage du milieu : Pour indiquer sur une figure que deux segments ont la même longueur, on leur ajoute un même symbole (un petit disque noir dans cet exemple).

II – Vocabulaire du cercle

Définitions
  • Un cercle de centre O est l’ensemble des points situés à la même distance du point O.
  • Cette distance est le rayon du cercle.
  • Un diamètre d’un cercle est un segment ayant pour extrémités deux points de ce cercle et contenant son centre.
  • Une corde d’un cercle est un segment ayant pour extrémités deux points de ce cercle.
  • Un arc de cercle est une portion de cercle comprise entre deux points de ce cercle.

Exemple :

  • Le point O est le centre du cercle (\mathcal{C}).
  • Le segment [OA] est un rayon du cercle (\mathcal{C})
  • Le segment [EF] est un diamètre du cercle (\mathcal{C})
  • Le segment [MN] est une corde du cercle (\mathcal{C})
  • La portion de cercle \overset{\displaystyle\frown}{MN} comprise entre M et N est un arc du cercle (\mathcal{C})

 

Vocabulaire
  • Un cercle possède une infinité de rayons. Dans l’exemple précédent, les segments [OA], [OE] et [OF] sont trois rayons du cercle (\mathcal{C}). LE rayon d’un cercle est la longueur de tous ses rayons : les trois distances OA, OE et OF sont toutes égales au rayon du cercle.
  • De la même façon, un cercle a une infinité de diamètres. LE diamètre d’un cercle est la longueur de tous ses diamètres.
Propriété
Le diamètre d’un cercle est égal au double de son rayon

Exemple : Si le rayon d’un cercle est de 3 cm alors son diamètre est de 6 cm.

III – Médiatrice d’un segment

Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par le milieu de ce segment.

Exemple : La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. Elle passe par le point M, milieu du segment [AB]. Elle forme avec [AB] un angle droit.

Construction de la médiatrice d’un segment

On va utiliser les propriétés précédentes pour construire la médiatrice d’un segment [AB ]à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas. Voici les étapes de construction :

  1. On trace le cercle de centre A qui passe par B.
  2. On trace le cercle de centre B qui passe par A.
  3. Ces deux cercles se croisent aux points C et D.
  4. La droite (CD) est la médiatrice du segment [AB].

Pourquoi la droite (CD) est la médiatrice de [AB] ?

Les deux cercles que nous avons tracés ont le même rayon dont la longueur est AB.

Le point C appartient au cercle de centre A, donc la distance AC est égale à la distance AB. Mais le point C appartient aussi au cercle de centre B, donc la distance BC est aussi égale à la distance AB. Par conséquent, les deux distances AC et AB sont égales. On en conclut que le point C appartient à la médiatrice du segment [AB].

Nous pouvons faire exactement la même observation avec le point D et conclure que le point D appartient à la médiatrice du segment [AB].