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Médiatrices d’un triangle

Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.

Explications :

Soit ABC un triangle quelconque. Nommons D l’intersection des médiatrices des segments [AB] et [BC] et démontrons que D appartient à la médiatrice de [AC].

SI D appartient à la médiatrice de [AB] alors DA = DB. Si D appartient la médiatrice de [BC] alors DB = DC. Donc DA = DC et il vient que D appartient à la médiatrice de [AC]. Conclusion : Les médiatrices de ABC son concourantes D.

Remarques :

  • D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
  • On a supposé que les médiatrices de [AB] et [BC] étaient sécantes. Si ces droites étaient parallèles alors il en serait de même des droites (AB) et (BC), ce qui est impossible.