Loi des sinus – Un peu de mathématiques

Étant donné un triangle ABC quelconque, la loi des sinus s’exprimer ainsi : $\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}$

Explications :

$\sin(\alpha) = \dfrac{h}{c}$ donc $h = c \times \sin(\alpha)$
De même : $\sin(\gamma) = \dfrac{h}{a}$ donc $h = a \times \sin(\gamma)$
si $c \times \sin(\alpha) = a \times \sin(\gamma)$ alors $\dfrac{c}{\sin(\gamma)} = \dfrac{a}{\sin(\alpha)}$

$\sin(\beta) = \dfrac{k}{c}$ donc $k = c \times \sin(\beta)$
De même : $\sin(\gamma) = \dfrac{k}{b}$ donc $k = b \times \sin(\gamma)$
si $c \times \sin(\beta) = b \times \sin(\gamma)$ alors $\dfrac{c}{\sin(\gamma)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}$

Conclusion : $\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}$

Remarque si un des angles est obtus :

$\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) = \dfrac{h}{c}$ …