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Loi des sinus


Étant donné un triangle ABC quelconque, la loi des sinus s’exprimer ainsi : \dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Explications :

\sin(\alpha) = \dfrac{h}{c} donc h = c \times \sin(\alpha)
De même : \sin(\gamma) = \dfrac{h}{a} donc h = a \times \sin(\gamma)
si c \times \sin(\alpha) = a \times \sin(\gamma) alors \dfrac{c}{\sin(\gamma)} = \dfrac{a}{\sin(\alpha)}

\sin(\beta) = \dfrac{k}{c} donc k = c \times \sin(\beta)
De même : \sin(\gamma) = \dfrac{k}{b} donc k = b \times \sin(\gamma)
si c \times \sin(\beta) = b \times \sin(\gamma) alors \dfrac{c}{\sin(\gamma)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}

Conclusion : \dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Remarque si un des angles est obtus :

\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) = \dfrac{h}{c}