Loi des cosinus

Étant donné un triangle ABC quelconque, la loi des cosinus s’exprime ainsi : $a^2+b^2=c^2+2ab\cos \gamma$ . Il s’agit de la généralisation du théorème de Pythagore à un triangle non rectangle.

Explications :

Pythagore dans le triangle AHB donne : $c^2 = AH^2 + HB^2$ .
Or $AH = AC - HC = b - a\cos \gamma$ et $HB = a\sin \gamma$ .
Donc $c^2 = (b - a\cos \gamma)^2 + a^2\sin^2 \gamma$
Soit $c^2 = b^2 - 2ab \cos \gamma + a^2\cos^2 \gamma + a^2\sin^2\gamma$
On met $a^2$ en facteur et on rappelle que $\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma = 1$ .
Ce qui donne $c^2 = b^2 - 2ab \cos \gamma + a^2$ .