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Loi des cosinus

Étant donné un triangle ABC quelconque, la loi des cosinus s’exprime ainsi : a^2+b^2=c^2+2ab\cos \gamma. Il s’agit de la généralisation du théorème de Pythagore à un triangle non rectangle.

Explications :

Pythagore dans le triangle AHB donne : c^2 = AH^2 + HB^2.
Or AH = AC - HC = b - a\cos \gamma et HB = a\sin \gamma.
Donc c^2 = (b - a\cos \gamma)^2 + a^2\sin^2 \gamma
Soit c^2 = b^2 - 2ab \cos \gamma + a^2\cos^2 \gamma + a^2\sin^2\gamma
On met a^2 en facteur et on rappelle que \cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma = 1.
Ce qui donne c^2 = b^2 - 2ab \cos \gamma + a^2.

Conclusion : a^2+b^2=c^2+2ab\cos \gamma

Remarque si un des angles du triangle est obtus :

AH = HC - AC = a\cos \gamma - b