Skip to content

Lieux géométriques des points dont les carrés des distances à deux points fixes ont une différence constante

Étant donnés un segment [AB] et un nombre réel a, le lieux des points M tels que MA^2 - MB^2 = a^2 est une droite perpendiculaire à (AB).

Construction :

L’égalité MA^2 - MB^2 = a^2 peut s’interpréter comme décrivant la position d’un point situé à l’intersection de deux cercles dont les carrés des rayons ont une différence de a^2.

Pour trouver deux de ces points :

  • On trace le cercle de centre A et de rayon AB;
  • On trace le cercle de centre B et de rayon \sqrt{AB^2-a^2};
  • Les points d’intersection E et F de ces deux cercles définissent la droite (EF) qui est le lieu recherché.

Explications :

Soient M un point tel que MA^2 - MB^2 = a^2 et H la projection de M sur la droite (AB). On va déterminer une expression de la distance AH.

On utilise le théorème de Pythagore pour trouver deux expressions de MH :

MH^2 = AM^2 - AH^2 et MH^2 = MB^2 - HB^2, ce qui donne l’équation : AM^2 - AH^2 = MB^2 - HB^2, que l’on peut écrire ainsi : AM^2 - MB^2 = AH^2 - HB^2, soit AH^2 - HB^2 = a^2.

Après factorisation et en rappelant que AB = AH + HB, on obtient AH - HB = \dfrac{a^2}{AB}.

En posant HB = AB - AH, on arrive à 2AH - AB = \dfrac{a^2}{AB}, soit AH = \dfrac{AB^2 + a^2}{2 AB}.

Ainsi le lieu recherché est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point H.