I – Comment représenter un déplacement rectiligne ?
Soient deux points et séparés d’une distance de 3 unités de longueur. | Soit un point . Où placer un point pour que le déplacement de vers soit équivalent au déplacement de vers ? | doit être situé à 3 unités de longueur à droite du point , de telle manière que les droites et soient parallèles. |
Si on voulait définir de manière parfaitement claire (univoque) ce déplacement à une personne ne voyant pas ces figures, il faudrait lui donner les trois informations suivantes :
- le déplacement est horizontal ;
- le déplacement d’effectue de la gauche vers la droite ;
- le déplacement est de 3 unités de longueurs
Les mathématiciens ont donné un nom à ce type de déplacement : une translation.
Une translation est parfaitement définie par le vecteur qui lui est associé et qui possède trois caractéristiques :
- sa direction : horizontale, verticale, diagonale
- son sens : gauche vers droite, haut vers bas, sud vers nord, …
- sa norme, sa « longueur« .
Exemple : Sur la figure de droite, nous avons représenté un triangle et une translation définie par son vecteur .
En langage simple, on peut dire que la translation de vecteur déplace un point
- de deux carreaux vers la gauche puis de trois carreaux vers le haut,
- ou de trois carreaux vers le haut, puis de deux carreaux vers la droite.
Les 3 caractéristiques du vecteur sont :
- direction : en diagonale selon la segment vert
- sens : du coin gauche en bas vers le point droite en haut
- norme : l’hypoténuse d’un triangle de côtés 2 et 3, ce qui donne d’après le théorème de Pythagore.
Cette translation de vecteur déplace le point vers le point , vers et vers . Ainsi l’image du triangle par cette translation est le triangle .
Remarque :
On aurait pu tout aussi bien définir cette translation en la décrivant comme le déplacement du point vers le point par exemple. Le vecteur a exactement les mêmes caractéristiques que le vecteur : même direction, même sens et même norme.
Finalement, il apparaît que les vecteurs , , et représentent la même translation. On dira qu’ils sont égaux.
II – Définitions et vocabulaire
- Le point est l’origine du vecteur.
- Le point est l’extrémité du vecteur.
- On représente le vecteur par une flèche allant de jusqu’à .
- sa direction : la droite (AB)
- son sens : de vers
- sa norme : la longueur que l’on note
Dans l’exemple de droite,
Dans la figure de droite, tous les vecteurs sont égaux à .
Précision importante : Dire que deux vecteurs possèdent la même direction signifie qu’is sont portés par deux droites parallèles. Il n’est donc pas nécessaire que ce soit la même droite.
Démonstration : Soient et l’origine et l’extrémité du vecteur .
1ère partie (existence) : On construit le point de telle façon que le quadrilatère (attention à l’ordre des lettres) soit un parallélogramme :
- On trace un arc de cercle de centre A et de rayon ;
- On trace un arc de cercle de centre D et de rayon ;
- L’une des deux intersections des arcs de cercle est le point .
Puisque est un parallélogramme, ces côtés opposés sont parallèles et de même longueur. En particulier les droites et sont parallèles et les distances et sont égales. Par conséquent les vecteurs et sont égaux, car dans le même sens. On a donc trouvé un point B tel que .
2ème partie (unicité) : Supposons qu’il existe un autre point tel que . Alors .
Donc les droites (AB) et (AE) seraient parallèles. Mais deux droites parallèles ayant un point en commun sont confondues. Par conséquent le point serait sur la droite (AB).
Si , alors les distances et seraient égales. Comme le montre la figure ci-dessus, cela laisse deux possibilités pour la position du point sur la droite : Soit et sont confondus, soit est le symétrique de par rapport à (position ).
Or la position est à rejeter car les vecteurs n’ont pas le même sens. Conclusion , ce qui achève de démontrer que le point est unique.
Remarque : On dit que est un représentant du vecteur .
Démonstration :
1ère partie : Supposons que ABCD soit un parallélogramme. Alors :
- , donc et ont la même norme.
- , donc et ont la même direction.
Ces deux vecteurs ont évidemment le même sens. Conclusion, ils sont égaux.
2ème partie (réciproque) : Supposons que . Alors et . Donc est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et de même dimension. Comme ces deux vecteurs ont le même sens, ce quadrilatère n’est pas croisé. On en conclut que c’est un parallélogramme.
Autrement dit, pour tout point , .
Remarque : le vecteur nul n’a pas de sens et pas de direction. Sa norme vaut 0.
III – Somme de deux vecteurs
Pour transformer le triangle marron en triangle bleu, on peut opérer de deux façons différentes :
- Soit par une translation directe du marron vers le bleu ;
- Soit par deux translations : du marron vers le vert, puis du vert vers le bleu.
Soient alors :
- le vecteur associé à la transformation du marron vers le vert ;
- le vecteur associé à la transformation du vert vers le bleu ;
- le vecteur associé à la transformation du marron vers le bleu.
Alors on dira que .
Construction de la somme de deux vecteurs
Soient et deux vecteurs dont on veut construire la somme.
On suppose que l’origine et l’extrémité du vecteur sont les points et . Autrement dit . |
|
On construit un vecteur égal au vecteur dont l’origine est le point et on appelle l’extrémité de ce vecteur. | |
Alors la somme est le vecteur .
Donc l’origine du vecteur somme est l’origine du premier vecteur et l’extrémité du vecteur somme est l’extrémité du second vecteur. |
Bien entendu, on peut aussi partir du vecteur :
On suppose que l’origine et l’extrémité du vecteur sont les points et . Autrement dit . | |
On construit un vecteur égal au vecteur dont l’origine est le point et on appelle l’extrémité de ce vecteur. | |
Alors la somme est le vecteur .
Bien évidemment , propriété qui est démontrée ci-dessous. |
Ainsi on aura démontrer que les deux constructions du vecteur somme, que nous venons de découvrir, donnent le même résultat
Démonstration : Soient deux vecteurs et représentés par et . On construit le vecteur représenté par et le vecteur représenté par .
On va démontrer que les points C et E sont confondus. (La figure de droite est volontairement fausse).
Par construction donc, d’après une propriété démontrée précédemment, ABED est un parallélogramme.
Par construction donc ABCD est aussi un parallélogramme.
On sait que si trois points R, S et T sont donnés, il existe un quatrième point unique U tel RSTU soit un parallélogramme. Or nous venons de voir que ABCD et ABED sont deux parallélogrammes, alors nécessairement C et E sont confondus. Ce qui achève de démontrer que .
C’est une conséquence directe de la définition de la somme de deux vecteurs.
La relation de Chasles est une propriété importante.
Remarque : une conséquence de cette relation a déjà été étudiée au collège : l’inégalité triangulaire.
Démonstration :
Si les deux vecteurs et sont égaux alors ils ont la même direction. Donc les droites et sont parallèles. Or deux droites parallèles possédant un point en commun sont confondues. Donc les points , et sont alignés.
Si les deux vecteurs et sont égaux alors ils ont le même sens. Donc sur la droite , les points et sont du même côté par rapport à .
Si les deux vecteurs et sont égaux alors ils ont la même norme. Donc .
Conclusion : les points et sont nécessairement confondus.
Démonstration :
1ère partie : Supposons que ABCD soit un parallélogramme. Alors .
En utilisant la relation de Chasles, il vient : .
2ème partie (réciproque) : Supposons que .
Soit le point tel que soit un parallélogramme. Alors .
En utilisant la relation de Chasles, il vient : .
Donc , ce qui prouve que . Donc est un parallélogramme.
IV – Vecteur opposé
Soit , l’opposé de vérifie la relation : . On va adopter la même approche avec les vecteurs.
Soient point et .
On sait que . Appliquons la relation de Chasles au vecteur : .
Donc .
De manière générale, soit un vecteur . L’opposé de , noté vérifie la relation : .
Construction de la différence de deux vecteurs
On note : .
Soient deux vecteurs et . Nous allons construire le vecteur | |
On trace le vecteur | |
On trace un représentant du vecteur en prenant comme origine l’extrémité du vecteur | |
On construit la somme des vecteurs et |
Démonstration : Supposons que . On peut ajouter le même vecteur aux deux membres de l’égalité :
. Comme , il vient :
Remarque : Cette propriété ressemble à une propriété similaire des nombres : Si alors .
EXERCICES
- 27 / 184 : Repérer des vecteurs égaux ou opposés, translations
- 29 / 184 : Repérer des vecteurs égaux sur une figure
- 31 / 185 : Construction de points
- 33 / 185 : Construction de points et vecteurs
- 35 / 185 : Raisonnement avec des vecteurs
- 38 / 186 : Raisonnement avec des vecteurs
- 40 / 186 : Relation de Chasles
- 42 / 187 : Somme de vecteurs
- 75 / 193 : Raisonnement avec des vecteurs
- 73 / 192 : Raisonnement avec des vecteurs + Geogebra