I – Comment représenter un déplacement rectiligne ?

Soient deux points $A$ et $B$ séparés d’une distance de 3 unités de longueur.	Soit un point $C$ . Où placer un point $D$ pour que le déplacement de $C$ vers $D$ soit équivalent au déplacement de $A$ vers $B$ ?	$D$ doit être situé à 3 unités de longueur à droite du point $C$ , de telle manière que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.

Si on voulait définir de manière parfaitement claire (univoque) ce déplacement à une personne ne voyant pas ces figures, il faudrait lui donner les trois informations suivantes :

le déplacement est horizontal ;
le déplacement d’effectue de la gauche vers la droite ;
le déplacement est de 3 unités de longueurs

Les mathématiciens ont donné un nom à ce type de déplacement : une translation.

Une translation est parfaitement définie par le vecteur qui lui est associé et qui possède trois caractéristiques :

sa direction : horizontale, verticale, diagonale
son sens : gauche vers droite, haut vers bas, sud vers nord, …
sa norme, sa « longueur« .

Exemple : Sur la figure de droite, nous avons représenté un triangle $ABC$ et une translation définie par son vecteur $\overrightarrow{t}$ .

En langage simple, on peut dire que la translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ déplace un point

de deux carreaux vers la gauche puis de trois carreaux vers le haut,
ou de trois carreaux vers le haut, puis de deux carreaux vers la droite.

Les 3 caractéristiques du vecteur $\overrightarrow{t}$ sont :

direction : en diagonale selon la segment vert
sens : du coin gauche en bas vers le point droite en haut
norme : l’hypoténuse d’un triangle de côtés 2 et 3, ce qui donne $\sqrt{13}$ d’après le théorème de Pythagore.

Cette translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ déplace le point $A$ vers le point $D$ , $B$ vers $E$ et $C$ vers $F$ . Ainsi l’image du triangle $ABC$ par cette translation est le triangle $DEF$ .

Remarque :

On aurait pu tout aussi bien définir cette translation en la décrivant comme le déplacement du point $A$ vers le point $D$ par exemple. Le vecteur $\overrightarrow{AD}$ a exactement les mêmes caractéristiques que le vecteur $\overrightarrow{t}$ : même direction, même sens et même norme.

Finalement, il apparaît que les vecteurs $\overrightarrow{t}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{CF}$ représentent la même translation. On dira qu’ils sont égaux.

II – Définitions et vocabulaire

Définition

Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan. À la translation qui transforme $A$ en $B$ , on associe le vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Le point $A$ est l’origine du vecteur.
Le point $B$ est l’extrémité du vecteur.
On représente le vecteur $\overrightarrow{AB}$ par une flèche allant de $A$ jusqu’à $B$ .

Vocabulaire

Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Les caractéristiques du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :

sa direction : la droite (AB)
son sens : de $A$ vers $B$
sa norme : la longueur $AB$ que l’on note $\parallel \overrightarrow{AB} \parallel$

Dans l’exemple de droite, $\parallel \overrightarrow{AB} \parallel = 4$

Définition

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ces deux vecteurs possèdent la même direction, le même sens, la même norme.

Dans la figure de droite, tous les vecteurs sont égaux à $\overrightarrow{t}$ .

Précision importante : Dire que deux vecteurs possèdent la même direction signifie qu’is sont portés par deux droites parallèles. Il n’est donc pas nécessaire que ce soit la même droite.

Propriété

Soit un vecteur $\overrightarrow{t}$ et un point $A$ . Il existe un point unique $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{t}$ .

Démonstration : Soient $C$ et $D$ l’origine et l’extrémité du vecteur $\overrightarrow{t}$ .

1^ère partie (existence) : On construit le point $B$ de telle façon que le quadrilatère $ABDC$ (attention à l’ordre des lettres) soit un parallélogramme :

On trace un arc de cercle de centre A et de rayon $CD$ ;
On trace un arc de cercle de centre D et de rayon $AC$ ;
L’une des deux intersections des arcs de cercle est le point $B$ .

Puisque $ABDC$ est un parallélogramme, ces côtés opposés sont parallèles et de même longueur. En particulier les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et les distances $AB$ et $CD$ sont égales. Par conséquent les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux, car dans le même sens. On a donc trouvé un point B tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{t}$ .

2^ème partie (unicité) : Supposons qu’il existe un autre point $E$ tel que $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{t}$ . Alors $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}$ .

Donc les droites (AB) et (AE) seraient parallèles. Mais deux droites parallèles ayant un point en commun sont confondues. Par conséquent le point $E$ serait sur la droite (AB).

Si $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}$ , alors les distances $AE$ et $AB$ seraient égales. Comme le montre la figure ci-dessus, cela laisse deux possibilités pour la position du point $E$ sur la droite $(AB)$ : Soit $E$ et $B$ sont confondus, soit $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$ (position $E'$ ).

Or la position $E'$ est à rejeter car les vecteurs $\overrightarrow{AE'} et \overrightarrow{t}$ n’ont pas le même sens. Conclusion $E=B$ , ce qui achève de démontrer que le point $B$ est unique.

Remarque : On dit que $\overrightarrow{AB}$ est un représentant du vecteur $\overrightarrow{t}$ .

Propriété

Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme, éventuellement aplati, si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux. L’ordre des points est important.

Démonstration :

1^ère partie : Supposons que ABCD soit un parallélogramme. Alors :

$AB = DC$ , donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ont la même norme.
$(AB) \parallel (DC)$ , donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ont la même direction.

Ces deux vecteurs ont évidemment le même sens. Conclusion, ils sont égaux.

2^ème partie (réciproque) : Supposons que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ . Alors $AB = DC$ et $(AB) \parallel (DC)$ . Donc $ABCD$ est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et de même dimension. Comme ces deux vecteurs ont le même sens, ce quadrilatère n’est pas croisé. On en conclut que c’est un parallélogramme.

Définition : vecteur nul

Le vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$ , est le vecteur associé à la translation qui transforme tout point en lui même.

Autrement dit, pour tout point $M$ , $\overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}$ .

Remarque : le vecteur nul n’a pas de sens et pas de direction. Sa norme vaut 0.

III – Somme de deux vecteurs

Pour transformer le triangle marron en triangle bleu, on peut opérer de deux façons différentes :

Soit par une translation directe du marron vers le bleu ;
Soit par deux translations : du marron vers le vert, puis du vert vers le bleu.

Soient alors :

$\overrightarrow{u}$ le vecteur associé à la transformation du marron vers le vert ;
$\overrightarrow{v}$ le vecteur associé à la transformation du vert vers le bleu ;
$\overrightarrow{w}$ le vecteur associé à la transformation du marron vers le bleu.

Alors on dira que $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ .

Définition

Lorsqu’on applique successivement la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ puis celle de vecteur $\overrightarrow{v}$ , on obtient une nouvelle translation dont le vecteur est, par définition, la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , notée $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ .

Construction de la somme de deux vecteurs

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs dont on veut construire la somme.

On suppose que l’origine et l’extrémité du vecteur $\overrightarrow{u}$ sont les points $A$ et $B$ . Autrement dit $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ .

On construit un vecteur égal au vecteur $\overrightarrow{v}$ dont l’origine est le point $B$ et on appelle $E$ l’extrémité de ce vecteur.

Alors la somme $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AE}$ .

Donc l’origine du vecteur somme est l’origine du premier vecteur et l’extrémité du vecteur somme est l’extrémité du second vecteur.

Bien entendu, on peut aussi partir du vecteur $\overrightarrow{v}$ :

On suppose que l’origine et l’extrémité du vecteur $\overrightarrow{v}$ sont les points $C$ et $d$ . Autrement dit $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{CD}$ .

On construit un vecteur égal au vecteur $\overrightarrow{u}$ dont l’origine est le point $D$ et on appelle $F$ l’extrémité de ce vecteur.

Alors la somme $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{CF}$ .

Bien évidemment $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AE}$ , propriété qui est démontrée ci-dessous.

Propriété

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$ .

Ainsi on aura démontrer que les deux constructions du vecteur somme, que nous venons de découvrir, donnent le même résultat

Démonstration : Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ représentés par $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB}$ . On construit le vecteur $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ représenté par $\overrightarrow{AC}$ et le vecteur $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ représenté par $\overrightarrow{AE}$ .

On va démontrer que les points C et E sont confondus. (La figure de droite est volontairement fausse).

Par construction $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{u}$ donc, d’après une propriété démontrée précédemment, ABED est un parallélogramme.

Par construction $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{v}$ donc ABCD est aussi un parallélogramme.

On sait que si trois points R, S et T sont donnés, il existe un quatrième point unique U tel RSTU soit un parallélogramme. Or nous venons de voir que ABCD et ABED sont deux parallélogrammes, alors nécessairement C et E sont confondus. Ce qui achève de démontrer que $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$ .

Propriété : Relation de Chasles

Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ , $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .

C’est une conséquence directe de la définition de la somme de deux vecteurs.

La relation de Chasles est une propriété importante.

Remarque : une conséquence de cette relation a déjà été étudiée au collège : l’inégalité triangulaire.

Propriété : Règle du parallélogramme

Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ , Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$ alors $B = C$ .

Démonstration :

Si les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont égaux alors ils ont la même direction. Donc les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles. Or deux droites parallèles possédant un point en commun sont confondues. Donc les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Si les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont égaux alors ils ont le même sens. Donc sur la droite $(AB)$ , les points $B$ et $C$ sont du même côté par rapport à $A$ .

Si les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont égaux alors ils ont la même norme. Donc $AB = AC$ .

Conclusion : les points $B$ et $C$ sont nécessairement confondus.

Propriété : Règle du parallélogramme

Pour tous points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ , $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme.

Démonstration :

1^ère partie : Supposons que ABCD soit un parallélogramme. Alors $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .

En utilisant la relation de Chasles, il vient : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ .

2^ème partie (réciproque) : Supposons que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .

Soit $E$ le point tel que $ABED$ soit un parallélogramme. Alors $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BE}$ .

En utilisant la relation de Chasles, il vient : $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .

Donc $\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AC}$ , ce qui prouve que $C = E$ . Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

IV – Vecteur opposé

Soit $x \in \mathbb{R}$ , l’opposé de $x$ vérifie la relation : $x +(-x) = 0$ . On va adopter la même approche avec les vecteurs.

Soient point $A$ et $B$ .

On sait que $\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$ . Appliquons la relation de Chasles au vecteur $\overrightarrow{AA}$ : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}$ .

Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ .

Définition

Pour tous points $A$ et $B$ , l’opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur $\overrightarrow{BA}$ . On note : $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$ .

De manière générale, soit un vecteur $\overrightarrow{u}$ . L’opposé de $\overrightarrow{u}$ , noté $-\overrightarrow{u}$ vérifie la relation : $\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0}$ .

Construction de la différence de deux vecteurs

Définition

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v})$

On note : $\overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ .

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ . Nous allons construire le vecteur $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$
On trace le vecteur $-\overrightarrow{v}$
On trace un représentant du vecteur $-\overrightarrow{v}$ en prenant comme origine l’extrémité du vecteur $\overrightarrow{u}$
On construit la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $-\overrightarrow{v}$

Propriété

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ . Si $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}$ alors $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{w}$ .

Démonstration : Supposons que $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}$ . On peut ajouter le même vecteur aux deux membres de l’égalité :

$-\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}$ . Comme $-\overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} =\overrightarrow{0}$ , il vient : $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{w}$