Les vecteurs – Troisième partie

I – Milieu

Propriété
Soient deux points A et B. Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • Le point I est le milieu du segment [AB] ;
  • \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} ;
  • \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} ;
  • \overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AI} ;

Démonstration :

1ère partie : Supposons que le point I soit le milieu du segment [AB]. Alors nous en déduisons que :

  • les points A, I et B sont alignés, donc les vecteurs \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{IB} ont la même direction.
  • AI = IB (égalité de distance), donc les vecteurs \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{IB} ont la même norme.

Et ils ont évidemment le même sens. Donc \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}.

2ème partie : Supposons que \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}.

Alors \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA}.

Donc \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA}. Ce qui donne : \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}

3ème partie : Supposons \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.

Alors la relation de Thales appliquée à \overrightarrow{IB} donne : \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}.

Donc 2 \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}, soit -2 \overrightarrow{IA} + 2 \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} = -2 \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{0}.

On obtient après simplification :  \overrightarrow{AB} = -2 \overrightarrow{IA} =2 \overrightarrow{AI}.

4ème partie : Supposons \overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AI}. On en déduit que :

  • AB = 2 \times AI (égalité de longueur)
  • les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AI} sont colinéaires, donc les points A, I et B sont alignés.

Cela permet d’affirmer que le point I est le milieu du segment [AB].

II – Coordonnées d’un vecteur

Définitions
Un repère orthonormé est constitué de trois points O, I et J tels que les droites (OI) et (OJ) soient perpendiculaires et tels que OI = OJ. La longueur OI est définie comme l’unité de mesure du repère.

  • La droite (OI) est l’axe des abscisses, c’est l’axe horizontal.
  • La droite (OJ) est l’axe des ordonnées, c’est l’axe vertical.

Le repère est noté : (O, I, J)

Tout point du plan est repéré de manière unique grâce à ses deux coordonnées appelées abscisse et ordonnée.

Exemples:

  • Les coordonnées du point A sont (3 ; 2)
  • Les coordonnées du point B sont (-2 ; -1)
Définitions
Soit un repère orthonormé (O ; I ; J). On pose \overrightarrow{i} = \overrightarrow{OI} et \overrightarrow{j} = \overrightarrow{OJ}. Le couple (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}) est appelé base orthonormée.

Exemple :

Soient les point M(3;2) ainsi que les points A(3;0) le projeté de M sur l’axe des abscisses et B(0;2) le projeté de M sur l’axe des ordonnées.

On a l’égalité : \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}

\overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{OI} = 3 \overrightarrow{i}

\overrightarrow{OB} = 3 \overrightarrow{OJ} = 2 \overrightarrow{j}

Donc \overrightarrow{OM} = 3 \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j}

On dit que les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OM} dans la base (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}) sont 2 et 3.

On observe que les coordonnées du point M et du vecteur \overrightarrow{OM} sont identiques.

Remarque : Que ce passe-t-il si le vecteur n’a pas le point O comme origine ?

Exemple :

Soit le vecteur \overrightarrow{CD} égal au vecteur \overrightarrow{OM}. Alors on doit s’attendre à ce que les coordonnées de \overrightarrow{CD} soient (3;2). Ce que l’on va vérifier.

\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{ED}

\overrightarrow{CE} = 2 \overrightarrow{j} et \overrightarrow{ED} = 3 \overrightarrow{i}.

Par conséquent \overrightarrow{CD} = 2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{i}. On retrouve les coordonnées de \overrightarrow{OM}.

 

Propriété et définition
Soit la base orthonormée (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})

Pour tout vecteur \overrightarrow{u}, il existe un couple unique de réels (x ; y) tels que \overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}

x et y sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} dans la base orthonormée (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})

Cas particulier : les coordonnées de \overrightarrow{0} sont (0 ; 0).

Démonstration :

Soit le repère orthonormé (0 ; I ; J) tel que \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{i} et \overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{j}.

Existence de x et de y :

Soit un vecteur \overrightarrow{u} et soit un point M tel que \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u}.

Soit x et y les coordonnées du point M dans la repère (0 ; I ; J). Alors on sait montrer que \overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}.

Donc \overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}.

Unicité de x et de y : Supposons que \overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}  = x' \overrightarrow{i} + y' \overrightarrow{j}

Soient les points M et M' tels que \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} et \overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{u} = x' \overrightarrow{i} + y' \overrightarrow{j}

Alors \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM'} donc M=M'. Si ces deux points sont confondus, leurs coordonnées sont égales, donc x=x' et y=y'.

Propriété
Soit la base orthonormée (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})

Pour tous vecteurs \overrightarrow{u} (x ; y) et \overrightarrow{v} (x' ; y'), et pour tout nombre réel k :

  • les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} +  \overrightarrow{v} sont (x + x' ; y + y').
  • les coordonnées du vecteur k \overrightarrow{u} sont (kx ; ky).

Cas particulier : si les coordonnées de \overrightarrow{u} sont (x ; y) alors les coordonnées de son opposé, -\overrightarrow{u} sont (-x ; -y)

Démonstration :

On sait que \overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} et que \overrightarrow{v} = x' \overrightarrow{i} + y' \overrightarrow{j}

    \[ $\overrightarrow{u} +  \overrightarrow{v} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + x' \overrightarrow{i} + y' \overrightarrow{j} = x \overrightarrow{i} + x' \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + y' \overrightarrow{j} = (x + x') \overrightarrow{i} + (y + y')\overrightarrow{j} \]

Ce qui démontre que les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} +  \overrightarrow{v} sont (x + x' ; y + y')

k \overrightarrow{u} = k ( x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} ) = k (x \overrightarrow{i}) + k (y \overrightarrow{j}) = (kx) \overrightarrow{i} + (ky) \overrightarrow{j}.

Ce qui démontrer que les coordonnées du vecteur k \overrightarrow{u} sont (kx ; ky).

Si on remplace k par (-1), on démontre que les coordonnées de - \overrightarrow{u} sont (-x ; -y)

Dans la suite de ce chapitre, les points sont repérés par un repère orthonormé (O : I ; J) et les vecteurs par une base orthonormée (\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}), telle que \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{i} et \overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{j}

Propriété : coordonnées du milieu d'un segment
Pour tous points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), les coordonnées du milieu du segment [AB] sont ( \dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} ).

Autrement dit les coordonnées du milieu d’un segment sont les demi-sommes des extrémités de segment.

Démonstration :

Soit I le milieu de [AB]. Nous savons que \overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AI}.

La relation de Chasles appliquée à \overrightarrow{AI} donne : \overrightarrow{AB} = 2 ( \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OI} ).

Après développement, il vient : \overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AO} + 2  \overrightarrow{OI}, soit 2 \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AO}

La relation de Chasles appliquée à \overrightarrow{AB} donne : 2 \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} - 2 \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{AO}.

Sachant que - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OA}, on obtient : 2 \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}.

Les coordonnées de \overrightarrow{OA} et de \overrightarrow{OB} sont respectivement (x_A ; y_A) et (x_B ; y_B), donc celles de \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} sont (x_A + x_B ; y_A + y_B) qui sont aussi les coordonnées de 2 \overrightarrow{OI}

Finalement nous trouvons que les coordonnées de  \overrightarrow{OI} sont ( \dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} )

Propriété
Pour tous points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} sont (x_B - x_A ; y_B - y_A).

Autrement dit les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont obtenues par les différences entre les coordonnées de l’extrémité du vecteur, le point B, et l’origine du vecteur, le point A.

Démonstration :

Les coordonnées du vecteur (\overrightarrow{OA} sont les coordonnées du point A, soit (x_A ; y_A).

On sait que \overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OA}. Donc les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AO} sont (-x_A ; -y_A).

La relation de Chasles appliqué à \overrightarrow{AB} donne : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}.

Donc les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont obtenus en faisant la somme des coordonnées de -\overrightarrow{OA} et de \overrightarrow{OB}, soit (-x_A + x_B ; -y_A + y_B), c’est-à-dire (x_B - x_A ; y_B - y_A).

Exemple :

A( 3 ; 2 ) et  B( -2 ; 1 )

On fait la différences entre les coordonnées de B et celles de A :

  • L’abscisse de \overrightarrow{AB} est -2 -3 = -5
  • L’ordonnée de \overrightarrow{AB} est 1 - 3 = -1

Donc \overrightarrow{AB} (-5 ; -1)

Interprétation géométrique : Pour passer du point A au point B, on se déplace « à gauche » de 5 unités, puis on « descend » d’une unité.

Propriété : Calcul de la distance entre deux points
Pour tous points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), la distance AB ou la norme du vecteur \overrightarrow{AB} est \parallel \overrightarrow{AB} \parallel = \sqrt { (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 }.

Démonstration :

Soient les points H et K projetés orthogonaux de A sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées, et soient les points L et M projetés orthogonaux de B sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. Soit C le point d’intersection des droites (AK) et (BL).

Par construction le triangle ABC est rectangle en C. \parallel \overrightarrow{AB} \parallel est égale à la distance AB qui vérifie le théorème de Pythagore : AB^2 = AC^2 + CB^2.

Nous voyons que AC = HL. Nous savons par ailleurs que la distance séparant deux points d’une droite numérique est la valeur absolue de la différence de leurs abscisses.

Comme H et L sont les projetés orthogonaux respectifs de A et B sur l’axe des abscisses, leurs abscisses respectives sont x_A et x_B. Par conséquent HL = \vert x_B - x_A \vert.

BC = MK. On démontre de la même façon que MK = \vert y_B - y_A \vert.

Ce qui donne : AB^2 = HL^2 = MK^2 = \vert x_B - x_A \vert ^2 + \vert y_B - y_A \vert ^2.

Rappel sur les valeurs absolues : pour tout réel x, \vert x \vert ^2 = x^2. Donc AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2

Ce qui donne par passage aux racines carrées : \sqrt{AB^2} = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \parallel \overrightarrow{AB} \parallel.

Propriété : Calcul de la norme d'un vecteur
Pour tout vecteur \overrightarrow{u} (x ; y), \parallel \overrightarrow{u} \parallel = \sqrt {x^2 + y^2}.

Démonstration :

Soit le vecteur \overrightarrow{u} de coordonnées (x ; y). On sait qu’il existe un point M possédant les mêmes coordonnées que \overrightarrow{u}, tel que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{OM}.

D’après la propriété précédente : \parallel \overrightarrow{OM} \parallel = \sqrt { (x_M - x_O)^2 + (y_M - y_O)^2 }.

Comme les coordonnées du point O, origine du repère, sont (0 ; 0) et que (x_M ; y_M ) = (x ; y), il vient que \parallel \overrightarrow{OM} \parallel = \sqrt { x^2 + y^2 } = \parallel \overrightarrow{u} \parallel.

Définition : Déterminant de deux vecteurs
Soient deux vecteurs \overrightarrow{u} (x ; y) et \overrightarrow{u} (x' ; y'), leur déterminant est l’expression : xy' - x'y.

Exemple : soient les vecteurs \overrightarrow{u} (1 ; 2) et \overrightarrow{u} (-3 ; 4). Leur déterminant est : 1 \times 4 - (-3) \times 2 = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10.

Propriété : Condition de colinéarité
Deux vecteurs \overrightarrow{u} (x ; y) et \overrightarrow{u} (x' ; y') sont colinéaires si et seulement leur déterminant est nul.

Démonstration : Soient deux vecteurs \overrightarrow{u} (x ; y) et \overrightarrow{v} (x' ; y').

1ère partie : Supposons que les deux vecteurs soient colinéaires.

Alors il existe un nombre réel k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}.

Ce qui signifie que x = kx' et que y = ky'. Donc xy' - x'y = kx'y' - x'ky' = 0

2ème partie ( réciproque) : Supposons que xy' - x'y = 0 alors xy' = x'y. (1)

1er cas : x \ne 0 et y \ne 0. L’égalité (1) devient : y' = \dfrac{x'y}{x} puis \dfrac{y'}{y} = \dfrac{x'}{x}.

On pose k = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{x'}{x}, ce qui donne : y' = ky et x' = kx. Donc \overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u}. Les deux vecteurs sont colinéaires.

2ème cas : x = 0. L’égalité (1) devient x'y = 0

  • x' = 0. Alors \overrightarrow{u} (0 ; y) et \overrightarrow{v} (0 ; y') sont colinéaires puisqu’ils ont la même direction verticale.
  • y = 0. Alors \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}. Tous les vecteurs sont colinéaires au vecteur nul. C’est donc le cas de \overrightarrow{v}.

3ème cas : y = 0. L’égalité (1) devient xy' = 0

  • y' = 0. Alors \overrightarrow{u} (x ; 0) et \overrightarrow{v} (x' ; 0) sont colinéaires puisqu’ils ont la même direction horizontale.
  • x = 0. Alors \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}. Tous les vecteurs sont colinéaires au vecteur nul. C’est donc le cas de \overrightarrow{v}