I – Milieu


- Le point
est le milieu du segment
;
;
;
;
Démonstration :
1ère partie : Supposons que le point
soit le milieu du segment
. Alors nous en déduisons que :
- les points
,
et
sont alignés, donc les vecteurs
et
ont la même direction.
(égalité de distance), donc les vecteurs
et
ont la même norme.
Et ils ont évidemment le même sens. Donc .
2ème partie : Supposons que
.
Alors .
Donc . Ce qui donne :
3ème partie : Supposons
.
Alors la relation de Thales appliquée à donne :
.
Donc , soit
.
On obtient après simplification : .
4ème partie : Supposons . On en déduit que :
(égalité de longueur)
- les vecteurs
et
sont colinéaires, donc les points
,
et
sont alignés.
Cela permet d’affirmer que le point I est le milieu du segment .
II – Coordonnées d’un vecteur








- La droite
est l’axe des abscisses, c’est l’axe horizontal.
- La droite
est l’axe des ordonnées, c’est l’axe vertical.
Le repère est noté :
Tout point du plan est repéré de manière unique grâce à ses deux coordonnées appelées abscisse et ordonnée.
Exemples:
- Les coordonnées du point
sont
- Les coordonnées du point
sont




Exemple :
Soient les point ainsi que les points
le projeté de M sur l’axe des abscisses et
le projeté de M sur l’axe des ordonnées.
On a l’égalité :
Donc
On dit que les coordonnées du vecteur dans la base
sont
et
.
On observe que les coordonnées du point et du vecteur
sont identiques.
Remarque : Que ce passe-t-il si le vecteur n’a pas le point O comme origine ?
Exemple :
Soit le vecteur égal au vecteur
. Alors on doit s’attendre à ce que les coordonnées de
soient
. Ce que l’on va vérifier.
et
.
Par conséquent . On retrouve les coordonnées de
.

Pour tout vecteur , il existe un couple unique de réels
tels que
et
sont les coordonnées du vecteur
dans la base orthonormée
Cas particulier : les coordonnées de sont
.
Démonstration :
Soit le repère orthonormé tel que
et
.
Existence de et de
:
Soit un vecteur et soit un point
tel que
.
Soit et
les coordonnées du point
dans la repère
. Alors on sait montrer que
.
Donc .
Unicité de et de
: Supposons que
Soient les points et
tels que
et
Alors donc
. Si ces deux points sont confondus, leurs coordonnées sont égales, donc
et
.

Pour tous vecteurs et
, et pour tout nombre réel
:
- les coordonnées du vecteur
sont
.
- les coordonnées du vecteur
sont
.
Cas particulier : si les coordonnées de sont
alors les coordonnées de son opposé,
sont
Démonstration :
On sait que et que
Ce qui démontre que les coordonnées du vecteur sont
.
Ce qui démontrer que les coordonnées du vecteur sont
.
Si on remplace par
, on démontre que les coordonnées de
sont
Dans la suite de ce chapitre, les points sont repérés par un repère orthonormé et les vecteurs par une base orthonormée
, telle que
et


![Rendered by QuickLaTeX.com [AB]](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9fd566b0e28516ed5c7d24192dac3fe1_l3.png)

Autrement dit les coordonnées du milieu d’un segment sont les demi-sommes des extrémités de segment.
Démonstration :
Soit le milieu de [AB]. Nous savons que
.
La relation de Chasles appliquée à donne :
.
Après développement, il vient : , soit
La relation de Chasles appliquée à donne :
.
Sachant que , on obtient :
.
Les coordonnées de et de
sont respectivement
et
, donc celles de
sont
qui sont aussi les coordonnées de
Finalement nous trouvons que les coordonnées de sont




Autrement dit les coordonnées de sont obtenues par les différences entre les coordonnées de l’extrémité du vecteur, le point
, et l’origine du vecteur, le point
.
Démonstration :
Les coordonnées du vecteur sont les coordonnées du point
, soit
.
On sait que . Donc les coordonnées du vecteur
sont
.
La relation de Chasles appliqué à donne :
.
Donc les coordonnées de sont obtenus en faisant la somme des coordonnées de
et de
, soit
, c’est-à-dire
.
Exemple :
et
On fait la différences entre les coordonnées de et celles de
:
- L’abscisse de
est
- L’ordonnée de
est
Donc
Interprétation géométrique : Pour passer du point au point
, on se déplace « à gauche » de 5 unités, puis on « descend » d’une unité.




Démonstration :
Soient les points et
projetés orthogonaux de
sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées, et soient les points
et
projetés orthogonaux de
sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. Soit
le point d’intersection des droites (AK) et (BL).
Par construction le triangle est rectangle en
.
est égale à la distance AB qui vérifie le théorème de Pythagore :
.
Nous voyons que . Nous savons par ailleurs que la distance séparant deux points d’une droite numérique est la valeur absolue de la différence de leurs abscisses.
Comme et
sont les projetés orthogonaux respectifs de
et
sur l’axe des abscisses, leurs abscisses respectives sont
et
. Par conséquent
.
. On démontre de la même façon que
.
Ce qui donne : .
Rappel sur les valeurs absolues : pour tout réel ,
. Donc
Ce qui donne par passage aux racines carrées : .


Démonstration :
Soit le vecteur de coordonnées
. On sait qu’il existe un point
possédant les mêmes coordonnées que
, tel que
.
D’après la propriété précédente : .
Comme les coordonnées du point , origine du repère, sont
et que
, il vient que
.



Exemple : soient les vecteurs et
. Leur déterminant est :
.


Démonstration : Soient deux vecteurs et
.
1ère partie : Supposons que les deux vecteurs soient colinéaires.
Alors il existe un nombre réel tel que
.
Ce qui signifie que et que
. Donc
2ème partie ( réciproque) : Supposons que alors
. (1)
1er cas : et
. L’égalité (1) devient :
puis
.
On pose , ce qui donne :
et
. Donc
. Les deux vecteurs sont colinéaires.
2ème cas : . L’égalité (1) devient
. Alors
et
sont colinéaires puisqu’ils ont la même direction verticale.
. Alors
. Tous les vecteurs sont colinéaires au vecteur nul. C’est donc le cas de
.
3ème cas : . L’égalité (1) devient
. Alors
et
sont colinéaires puisqu’ils ont la même direction horizontale.
. Alors
. Tous les vecteurs sont colinéaires au vecteur nul. C’est donc le cas de