I – Milieu

Propriété

Soient deux points $A$ et $B$ . Les propositions suivantes sont équivalentes :

Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ ;
$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ ;
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ ;
$\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AI}$ ;

Démonstration :

1^ère partie : Supposons que le point $I$ soit le milieu du segment $[AB]$ . Alors nous en déduisons que :

les points $A$ , $I$ et $B$ sont alignés, donc les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont la même direction.
$AI = IB$ (égalité de distance), donc les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont la même norme.

Et ils ont évidemment le même sens. Donc $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ .

2^ème partie : Supposons que $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ .

Alors $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA}$ .

Donc $\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA}$ . Ce qui donne : $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$

3^ème partie : Supposons $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .

Alors la relation de Thales appliquée à $\overrightarrow{IB}$ donne : $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ .

Donc $2 \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ , soit $-2 \overrightarrow{IA} + 2 \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} = -2 \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{0}$ .

On obtient après simplification : $\overrightarrow{AB} = -2 \overrightarrow{IA} =2 \overrightarrow{AI}$ .

4^ème partie : Supposons $\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AI}$ . On en déduit que :

$AB = 2 \times AI$ (égalité de longueur)
les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires, donc les points $A$ , $I$ et $B$ sont alignés.

Cela permet d’affirmer que le point I est le milieu du segment $[AB]$ .

II – Coordonnées d’un vecteur

Définitions

Un repère orthonormé est constitué de trois points $O$ , $I$ et $J$ tels que les droites $(OI)$ et $(OJ)$ soient perpendiculaires et tels que $OI = OJ$ . La longueur $OI$ est définie comme l’unité de mesure du repère.

La droite $(OI)$ est l’axe des abscisses, c’est l’axe horizontal.
La droite $(OJ)$ est l’axe des ordonnées, c’est l’axe vertical.

Le repère est noté : $(O, I, J)$

Tout point du plan est repéré de manière unique grâce à ses deux coordonnées appelées abscisse et ordonnée.

Exemples:

Les coordonnées du point $A$ sont $(3 ; 2)$
Les coordonnées du point $B$ sont $(-2 ; -1)$

Définitions

Soit un repère orthonormé $(O ; I ; J)$ . On pose $\overrightarrow{i} = \overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{j} = \overrightarrow{OJ}$ . Le couple $(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})$ est appelé base orthonormée.

Exemple :

Soient les point $M(3;2)$ ainsi que les points $A(3;0)$ le projeté de M sur l’axe des abscisses et $B(0;2)$ le projeté de M sur l’axe des ordonnées.

On a l’égalité : $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{OI} = 3 \overrightarrow{i}$

$\overrightarrow{OB} = 3 \overrightarrow{OJ} = 2 \overrightarrow{j}$

Donc $\overrightarrow{OM} = 3 \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j}$

On dit que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$ dans la base $(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})$ sont $2$ et $3$ .

On observe que les coordonnées du point $M$ et du vecteur $\overrightarrow{OM}$ sont identiques.

Remarque : Que ce passe-t-il si le vecteur n’a pas le point O comme origine ?

Exemple :

Soit le vecteur $\overrightarrow{CD}$ égal au vecteur $\overrightarrow{OM}$ . Alors on doit s’attendre à ce que les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ soient $(3;2)$ . Ce que l’on va vérifier.

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{ED}$

$\overrightarrow{CE} = 2 \overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{ED} = 3 \overrightarrow{i}$ .

Par conséquent $\overrightarrow{CD} = 2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{i}$ . On retrouve les coordonnées de $\overrightarrow{OM}$ .

Propriété et définition

Soit la base orthonormée $(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})$

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ , il existe un couple unique de réels $(x ; y)$ tels que $\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$

$x$ et $y$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ dans la base orthonormée $(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})$

Cas particulier : les coordonnées de $\overrightarrow{0}$ sont $(0 ; 0)$ .

Démonstration :

Soit le repère orthonormé $(0 ; I ; J)$ tel que $\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{j}$ .

Existence de $x$ et de $y$ :

Soit un vecteur $\overrightarrow{u}$ et soit un point $M$ tel que $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u}$ .

Soit $x$ et $y$ les coordonnées du point $M$ dans la repère $(0 ; I ; J)$ . Alors on sait montrer que $\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ .

Donc $\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ .

Unicité de $x$ et de $y$ : Supposons que $\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} = x' \overrightarrow{i} + y' \overrightarrow{j}$

Soient les points $M$ et $M'$ tels que $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{u} = x' \overrightarrow{i} + y' \overrightarrow{j}$

Alors $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM'}$ donc $M=M'$ . Si ces deux points sont confondus, leurs coordonnées sont égales, donc $x=x'$ et $y=y'$ .

Propriété

Soit la base orthonormée $(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})$

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u} (x ; y)$ et $\overrightarrow{v} (x' ; y')$ , et pour tout nombre réel $k$ :

les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ sont $(x + x' ; y + y')$ .
les coordonnées du vecteur $k \overrightarrow{u}$ sont $(kx ; ky)$ .

Cas particulier : si les coordonnées de $\overrightarrow{u}$ sont $(x ; y)$ alors les coordonnées de son opposé, $-\overrightarrow{u}$ sont $(-x ; -y)$

Démonstration :

On sait que $\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ et que $\overrightarrow{v} = x' \overrightarrow{i} + y' \overrightarrow{j}$

$$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + x' \overrightarrow{i} + y' \overrightarrow{j} = x \overrightarrow{i} + x' \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + y' \overrightarrow{j} = (x + x') \overrightarrow{i} + (y + y')\overrightarrow{j}$

Ce qui démontre que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ sont $(x + x' ; y + y')$

$k \overrightarrow{u} = k ( x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} ) = k (x \overrightarrow{i}) + k (y \overrightarrow{j}) = (kx) \overrightarrow{i} + (ky) \overrightarrow{j}$ .

Ce qui démontrer que les coordonnées du vecteur $k \overrightarrow{u}$ sont $(kx ; ky)$ .

Si on remplace $k$ par $(-1)$ , on démontre que les coordonnées de $- \overrightarrow{u}$ sont $(-x ; -y)$

Dans la suite de ce chapitre, les points sont repérés par un repère orthonormé $(O : I ; J)$ et les vecteurs par une base orthonormée $(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j})$ , telle que $\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{j}$

Propriété : coordonnées du milieu d'un segment

Pour tous points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ , les coordonnées du milieu du segment $[AB]$ sont $( \dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} )$ .

Autrement dit les coordonnées du milieu d’un segment sont les demi-sommes des extrémités de segment.

Démonstration :

Soit $I$ le milieu de [AB]. Nous savons que $\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AI}$ .

La relation de Chasles appliquée à $\overrightarrow{AI}$ donne : $\overrightarrow{AB} = 2 ( \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OI} )$ .

Après développement, il vient : $\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AO} + 2 \overrightarrow{OI}$ , soit $2 \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AO}$

La relation de Chasles appliquée à $\overrightarrow{AB}$ donne : $2 \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} - 2 \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{AO}$ .

Sachant que $- \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OA}$ , on obtient : $2 \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .

Les coordonnées de $\overrightarrow{OA}$ et de $\overrightarrow{OB}$ sont respectivement $(x_A ; y_A)$ et $(x_B ; y_B)$ , donc celles de $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ sont $(x_A + x_B ; y_A + y_B)$ qui sont aussi les coordonnées de $2 \overrightarrow{OI}$

Finalement nous trouvons que les coordonnées de $\overrightarrow{OI}$ sont $( \dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} )$

Propriété

Pour tous points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ , les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$ .

Autrement dit les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont obtenues par les différences entre les coordonnées de l’extrémité du vecteur, le point $B$ , et l’origine du vecteur, le point $A$ .

Démonstration :

Les coordonnées du vecteur $(\overrightarrow{OA}$ sont les coordonnées du point $A$ , soit $(x_A ; y_A)$ .

On sait que $\overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OA}$ . Donc les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AO}$ sont $(-x_A ; -y_A)$ .

La relation de Chasles appliqué à $\overrightarrow{AB}$ donne : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .

Donc les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont obtenus en faisant la somme des coordonnées de $-\overrightarrow{OA}$ et de $\overrightarrow{OB}$ , soit $(-x_A + x_B ; -y_A + y_B)$ , c’est-à-dire $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$ .

Exemple :

$A( 3 ; 2 )$ et $B( -2 ; 1 )$

On fait la différences entre les coordonnées de $B$ et celles de $A$ :

L’abscisse de $\overrightarrow{AB}$ est $-2 -3 = -5$
L’ordonnée de $\overrightarrow{AB}$ est $1 - 3 = -1$

Donc $\overrightarrow{AB} (-5 ; -1)$

Interprétation géométrique : Pour passer du point $A$ au point $B$ , on se déplace “à gauche” de 5 unités, puis on “descend” d’une unité.

Propriété : Calcul de la distance entre deux points

Pour tous points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ , la distance AB ou la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $\parallel \overrightarrow{AB} \parallel = \sqrt { (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 }$ .

Démonstration :

Soient les points $H$ et $K$ projetés orthogonaux de $A$ sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées, et soient les points $L$ et $M$ projetés orthogonaux de $B$ sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. Soit $C$ le point d’intersection des droites (AK) et (BL).

Par construction le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ . $\parallel \overrightarrow{AB} \parallel$ est égale à la distance AB qui vérifie le théorème de Pythagore : $AB^2 = AC^2 + CB^2$ .

Nous voyons que $AC = HL$ . Nous savons par ailleurs que la distance séparant deux points d’une droite numérique est la valeur absolue de la différence de leurs abscisses.

Comme $H$ et $L$ sont les projetés orthogonaux respectifs de $A$ et $B$ sur l’axe des abscisses, leurs abscisses respectives sont $x_A$ et $x_B$ . Par conséquent $HL = \vert x_B - x_A \vert$ .

$BC = MK$ . On démontre de la même façon que $MK = \vert y_B - y_A \vert$ .

Ce qui donne : $AB^2 = HL^2 = MK^2 = \vert x_B - x_A \vert ^2 + \vert y_B - y_A \vert ^2$ .

Rappel sur les valeurs absolues : pour tout réel $x$ , $\vert x \vert ^2 = x^2$ . Donc $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Ce qui donne par passage aux racines carrées : $\sqrt{AB^2} = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \parallel \overrightarrow{AB} \parallel$ .

Propriété : Calcul de la norme d'un vecteur

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u} (x ; y)$ , $\parallel \overrightarrow{u} \parallel = \sqrt {x^2 + y^2}$ .

Démonstration :

Soit le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $(x ; y)$ . On sait qu’il existe un point $M$ possédant les mêmes coordonnées que $\overrightarrow{u}$ , tel que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OM}$ .

D’après la propriété précédente : $\parallel \overrightarrow{OM} \parallel = \sqrt { (x_M - x_O)^2 + (y_M - y_O)^2 }$ .

Comme les coordonnées du point $O$ , origine du repère, sont $(0 ; 0)$ et que $(x_M ; y_M ) = (x ; y)$ , il vient que $\parallel \overrightarrow{OM} \parallel = \sqrt { x^2 + y^2 } = \parallel \overrightarrow{u} \parallel$ .

Définition : Déterminant de deux vecteurs

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u} (x ; y)$ et $\overrightarrow{u} (x' ; y')$ , leur déterminant est l’expression : $xy' - x'y$ .

Exemple : soient les vecteurs $\overrightarrow{u} (1 ; 2)$ et $\overrightarrow{u} (-3 ; 4)$ . Leur déterminant est : $1 \times 4 - (-3) \times 2 = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10$ .

Propriété : Condition de colinéarité

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} (x ; y)$ et $\overrightarrow{u} (x' ; y')$ sont colinéaires si et seulement leur déterminant est nul.

Démonstration : Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u} (x ; y)$ et $\overrightarrow{v} (x' ; y')$ .

1^ère partie : Supposons que les deux vecteurs soient colinéaires.

Alors il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}$ .

Ce qui signifie que $x = kx'$ et que $y = ky'$ . Donc $xy' - x'y = kx'y' - x'ky' = 0$

2^ème partie ( réciproque) : Supposons que $xy' - x'y = 0$ alors $xy' = x'y$ . (1)

1^er cas : $x \ne 0$ et $y \ne 0$ . L’égalité (1) devient : $y' = \dfrac{x'y}{x}$ puis $\dfrac{y'}{y} = \dfrac{x'}{x}$ .

On pose $k = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{x'}{x}$ , ce qui donne : $y' = ky$ et $x' = kx$ . Donc $\overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u}$ . Les deux vecteurs sont colinéaires.

2^ème cas : $x = 0$ . L’égalité (1) devient $x'y = 0$

$x' = 0$ . Alors $\overrightarrow{u} (0 ; y)$ et $\overrightarrow{v} (0 ; y')$ sont colinéaires puisqu’ils ont la même direction verticale.
$y = 0$ . Alors $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ . Tous les vecteurs sont colinéaires au vecteur nul. C’est donc le cas de $\overrightarrow{v}$ .

3^ème cas : $y = 0$ . L’égalité (1) devient $xy' = 0$

$y' = 0$ . Alors $\overrightarrow{u} (x ; 0)$ et $\overrightarrow{v} (x' ; 0)$ sont colinéaires puisqu’ils ont la même direction horizontale.
$x = 0$ . Alors $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ . Tous les vecteurs sont colinéaires au vecteur nul. C’est donc le cas de $\overrightarrow{v}$

Les vecteurs – Troisième partie

I – Milieu

II – Coordonnées d’un vecteur

Remarque : Que ce passe-t-il si le vecteur n’a pas le point O comme origine ?

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