Les vecteurs – Deuxième partie

I – Produit d’un vecteur par un réel

Soient deux points A et B, on s’intéresse au vecteur \overrightarrow{AC} qui est égal à la somme \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}.

On constate que le vecteur \overrightarrow{AC} a la même direction et le même sens que le vecteur \overrightarrow{AB}. On observe également que la norme de \overrightarrow{AC} et le double de celle de \overrightarrow{AB}.

Cela nous autorise à écrire que \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB}

Attention : il ne s’agit pas d’une multiplication entre nombres réels.

Définition
Pour tout vecteur \overrightarrow{u} et pour tout nombre réel k, le produit de \overrightarrow{u} par k est le vecteur noté k \overrightarrow{u}

  • ayant la même direction que \overrightarrow{u} ;
  • dont le sens est celui de \overrightarrow{u} si k>0 et contraire à celui de \overrightarrow{u} si k < 0 ;
  • dont la norme est égale à \vert k \vert \parallel \overrightarrow{u} \parallel.

Exemple : Le vecteur -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{u} est obtenu en construisant -\overrightarrow{u} puis en divisant la norme par 2.

Cas particulier : (-1) \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{u}

 

 

Propriété
Pour tous vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et pour tout nombre réel k, k ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v}.

Démonstration :

On considère deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.

On construit la somme de ces deux vecteurs.

  • \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}
  • \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}
  • \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AF}
Soit un nombre réel k positif.

On construit les vecteurs k \overrightarrow{u} et k \overrightarrow{v}.

  • k \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AD}
  • k \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AE}

\overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{AB} donc AD = k \times AB (égalité de distance)

\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AC} donc AE = k \times AC
On construit le vecteur k ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})

k ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) = \overrightarrow{AG}

L’objectif est de démontrer que k ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v}

\overrightarrow{AG} = k \overrightarrow{AF} donc AG = k \times AF

D’après la réciproque du théorème de Thalès, il vient que : DG = k \times BF et (DG) \parallel (BF)

DG = k \times BF = k \times AC car ABFC est un parallélogramme puisque \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}

DG = k \times AC = AE

(DG) \parallel (BF) et (BF) \parallel (AC) car ABFC est un parallélogramme. Comme (AC) = (AE), il vient que (DG) \parallel (AE)

Puisque DG = AE, (DG) \parallel (AE) et que les vecteurs \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{DG} sont dans le même sens, alors \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DG}.

Relation de Chasles : \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}

Donc k ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v}.

Remarque :

Considérons maintenant un réel k négatif. Alors la figure sera celle de droite.

La réciproque du théorème Thalès permet à nouveau démontrer la propriété.

Cas particulier : k = -1

La propriété s’écrit : (-1) ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = (-1) \overrightarrow{u} + (-1) \overrightarrow{v}

Donc .- ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}) = - \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}

Ce résultat ressemble à la règle du signe moins devant une parenthèse dans une expression numérique.

Propriété
Pour tout vecteur \overrightarrow{u} et pour tous nombre réel k et k', (k + k') \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{u} + k' \overrightarrow{u}.

Démonstration dans le cas où k et k' sont positifs :

Dans ce cas \vert k \vert = k, \vert k' \vert = k' et \vert k + k' \vert = k + k'

    \[ \parallel k \overrightarrow{u} + k' \overrightarrow{u} \parallel = \parallel k \overrightarrow{u} \parallel + \parallel k' \overrightarrow{u} \parallel = \vert k \vert \parallel \overrightarrow{u} \parallel + \vert k' \vert \parallel \overrightarrow{u} \parallel \]

    \[ = (\vert k \vert + \vert k' \vert) \parallel \overrightarrow{u} \parallel = (k+k') \parallel \overrightarrow{u} \parallel = \vert k+k' \vert \parallel \overrightarrow{u} \parallel = \parallel (k+k') \overrightarrow{u} \parallel \]

On a démontré que les vecteurs k \overrightarrow{u} + k' \overrightarrow{u} et (k+k') \overrightarrow{u} ont la même norme. Il est par ailleurs évident qu’ils ont le même sens et la même direction que  \overrightarrow{u}. Donc ces deux vecteurs sont égaux.

Les démonstrations dans les cas ou k et k' sont de signes opposés ou tous les deux négatifs sont similaires.

Propriété
Pour tout vecteur \overrightarrow{u} et pour tous nombres réels k et k', k (k' \overrightarrow{u}) = (k \times k') \overrightarrow{u}.

Démonstration dans le cas où k et k' sont positifs :

Dans ce cas \vert k \vert = k, \vert k' \vert = k' et \vert k \times k' \vert = k \times k'

    \[ \parallel k' (k \overrightarrow{u} ) \parallel = \vert k' \vert \times \parallel k \overrightarrow{u} \parallel = k' \times \vert k \vert \times \parallel \overrightarrow{u} \parallel \]

    \[ = kk' \times \parallel \overrightarrow{u} \parallel = \vert kk' \vert \parallel \overrightarrow{u} \parallel = \parallel (kk') \overrightarrow{u} \parallel \]

On a démontré que les vecteurs k' (k \overrightarrow{u} ) et (kk') \overrightarrow{u} ont la même norme. Il est par ailleurs évident qu’ils ont le même sens et la même direction que  \overrightarrow{u}. Donc ces deux vecteurs sont égaux.

Les démonstrations dans les cas ou k et k' sont de signes opposés ou tous les deux négatifs sont similaires.

Propriétés
  • Pour tout vecteur \overrightarrow{u}, 0 \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}
  • Pour tout nombre réel k, k \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}

Démonstration de la première propriété :

Puisque 0 + 0 = 0, on peut écrire : 0 \overrightarrow{u} = (0 + 0) \overrightarrow{u}

En développant : 0 \overrightarrow{u}= 0 \overrightarrow{u} + 0 \overrightarrow{u}.

En ajoutant \overrightarrow{0} au premier membre de l’égalité : \overrightarrow{0} + 0 \overrightarrow{u} = 0 \overrightarrow{u} + 0 \overrightarrow{u}.

En simplifiant par 0 \overrightarrow{u}. il reste : \overrightarrow{0} = 0 \overrightarrow{u}.

Démonstration de la seconde propriété :

Puisque \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}, on peut écrire : k \overrightarrow{0} = k ( \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} )

En développant : k \overrightarrow{0} = k \overrightarrow{0} + k \overrightarrow{0}

En ajoutant \overrightarrow{0} au premier membre de l’égalité : \overrightarrow{0} + k \overrightarrow{0} = k \overrightarrow{0} + k \overrightarrow{0}

En simplifiant par k \overrightarrow{0}. il reste : k \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}.

Propriété
Pour tout vecteur \overrightarrow{u} et pour tout nombre réel k, si k \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} alors k = 0 ou \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}.

Supposons que k \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} et que de plus k \ne 0. Montrons alors que nécessairement \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}.

Puisque k \ne 0, on peut multiplier chaque membre de l’égalité par \dfrac{1}{k} : \dfrac{1}{k} k \overrightarrow{u} = \dfrac{1}{k} \overrightarrow{0}

Ce qui donne :( \dfrac{1}{k} \times k ) \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}. Soit \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}.

II – Vecteurs colinéaires

Définition
Deux vecteurs \overrightarrow{u} et  \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si :

  • il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} ou
  • il existe un réel k' tel que \overrightarrow{v} = k' \overrightarrow{u}

Exemple : Les vecteurs \overrightarrow{u} et  \overrightarrow{v} de la figure ci-contre sont colinéaires car :

  • \overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{u}
  • Mais aussi : \overrightarrow{u} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{v}
Propriété
Le vecteur \overrightarrow{0} est colinéaire avec tous les vecteurs.

Démonstration : soit \overrightarrow{u} un vecteur quelconque. Puisque 0 \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}, cela prouve que ces deux vecteurs sont colinéaires.

Propriété
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction.

Cette propriété découle de la définition du produit d’un vecteur par un nombre réel.

Propriété
Trois points sont alignés si et seulement si on peut construire avec eux deux vecteurs non nuls et colinéaires.

Démonstration :

1ère partie : Supposons que les points A, B et C sont alignés comme sur la figure ci-contre. Alors les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, par exemple, sont colinéaires.

2ème partie : supposons que, par exemple, les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} soient colinéaires, alors ces deux vecteurs possèdent la même direction.

Par conséquent, les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Comme elles possèdent un point commun A, elles sont confondues. Ce qui achève de démontrer que les points A, B et C sont alignés.

Propriété
Deux droites sont parallèles si et seulement si à partir de deux points placés sur chacune des droites, on peut former deux vecteurs colinéaires.

Démonstration :

Supposons que les droites (AB) et (CD) soient parallèles. Alors les deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Supposons à présents que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} soient colinéaires, alors ils ont la même direction, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

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