I – Produit d’un vecteur par un réel
Soient deux points
et
, on s’intéresse au vecteur
qui est égal à la somme
.
On constate que le vecteur a la même direction et le même sens que le vecteur
. On observe également que la norme de
et le double de celle de
.
Cela nous autorise à écrire que
Attention : il ne s’agit pas d’une multiplication entre nombres réels.
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54e6b7abfa392a1fe589cfca6dca2e8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54e6b7abfa392a1fe589cfca6dca2e8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0802f854bbd2a653a9749b931cfb204f_l3.png)
- ayant la même direction que
;
- dont le sens est celui de
si
et contraire à celui de
si
;
- dont la norme est égale à
.
Exemple : Le vecteur
est obtenu en construisant
puis en divisant la norme par 2.
Cas particulier :
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54e6b7abfa392a1fe589cfca6dca2e8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{v}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff29f114bfbad46fc153b62df244ce43_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k ( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2df003bada379b5069713c9f2c39e04_l3.png)
Démonstration :
On considère deux vecteurs ![]() ![]() On construit la somme de ces deux vecteurs. |
![]() |
Soit un nombre réel ![]() On construit les vecteurs
|
![]() |
On construit le vecteur ![]() L’objectif est de démontrer que
D’après la réciproque du théorème de Thalès, il vient que : |
![]() |
car
est un parallélogramme puisque
et
car
est un parallélogramme. Comme
, il vient que
Puisque ,
et que les vecteurs
et
sont dans le même sens, alors
.
Relation de Chasles :
Donc .
Remarque :
Considérons maintenant un réel négatif. Alors la figure sera celle de droite.
La réciproque du théorème Thalès permet à nouveau démontrer la propriété.
Cas particulier :
La propriété s’écrit :
Donc .
Ce résultat ressemble à la règle du signe moins devant une parenthèse dans une expression numérique.
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54e6b7abfa392a1fe589cfca6dca2e8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k'](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20978fc71e693c6b0ca59b41daaed2b9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (k + k') \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{u} + k' \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31806f272659558add01619803f4787b_l3.png)
Démonstration dans le cas où
et
sont positifs :
Dans ce cas ,
et
On a démontré que les vecteurs et
ont la même norme. Il est par ailleurs évident qu’ils ont le même sens et la même direction que
. Donc ces deux vecteurs sont égaux.
Les démonstrations dans les cas ou et
sont de signes opposés ou tous les deux négatifs sont similaires.
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54e6b7abfa392a1fe589cfca6dca2e8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k'](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20978fc71e693c6b0ca59b41daaed2b9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k (k' \overrightarrow{u}) = (k \times k') \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1fd3de3f2064519fece858e067781ca_l3.png)
Démonstration dans le cas où
et
sont positifs :
Dans ce cas ,
et
On a démontré que les vecteurs et
ont la même norme. Il est par ailleurs évident qu’ils ont le même sens et la même direction que
. Donc ces deux vecteurs sont égaux.
Les démonstrations dans les cas ou et
sont de signes opposés ou tous les deux négatifs sont similaires.
- Pour tout vecteur
,
- Pour tout nombre réel
,
Démonstration de la première propriété :
Puisque , on peut écrire :
En développant : .
En ajoutant au premier membre de l’égalité :
.
En simplifiant par . il reste :
.
Démonstration de la seconde propriété :
Puisque , on peut écrire :
En développant :
En ajoutant au premier membre de l’égalité :
En simplifiant par . il reste :
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54e6b7abfa392a1fe589cfca6dca2e8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6b70941f2e7e91cb8db78959c9b0069_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k = 0](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3180e5a60ff897b72e23b305f87b4b2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-980ce608678e8460388ca34d3dc5492f_l3.png)
Supposons que et que de plus
. Montrons alors que nécessairement
.
Puisque , on peut multiplier chaque membre de l’égalité par
:
Ce qui donne :. Soit
.
II – Vecteurs colinéaires
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{u}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54e6b7abfa392a1fe589cfca6dca2e8b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{v}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff29f114bfbad46fc153b62df244ce43_l3.png)
- il existe un réel
tel que
ou
- il existe un réel
tel que
Exemple : Les vecteurs
et
de la figure ci-contre sont colinéaires car :
- Mais aussi :
![Rendered by QuickLaTeX.com \overrightarrow{0}](http://www.rozenblum.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e233daa0d904f33e4de2a59d74f92c6a_l3.png)
Démonstration : soit un vecteur quelconque. Puisque
, cela prouve que ces deux vecteurs sont colinéaires.
Cette propriété découle de la définition du produit d’un vecteur par un nombre réel.
Démonstration :
1ère partie : Supposons que les points ,
et
sont alignés comme sur la figure ci-contre. Alors les vecteurs
et
, par exemple, sont colinéaires.
2ème partie : supposons que, par exemple, les vecteurs et
soient colinéaires, alors ces deux vecteurs possèdent la même direction.
Par conséquent, les droites et
sont parallèles. Comme elles possèdent un point commun
, elles sont confondues. Ce qui achève de démontrer que les points
,
et
sont alignés.
Démonstration :
Supposons que les droites et
soient parallèles. Alors les deux vecteurs
et
sont colinéaires.
Supposons à présents que les vecteurs et
soient colinéaires, alors ils ont la même direction, donc les droites
et
sont parallèles.