I – Somme des angles

Propriété

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.

Démonstration : Soit un triangle ABC et ses trois angles $\alpha, \beta$ et $\gamma$ . On va démontrer que $\alpha + \beta + \gamma = 180$ °.

Traçons la droite (DE), parallèle à la droite (AC) et passant par B. On utilise alors la propriété des angles alternes-internes :

Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure.

Donc, on en déduit que :

$\widehat{CAB} = \widehat{DBA} = \alpha$
$\widehat{BCA} = \widehat{CBE} = \gamma$

Comme les points D, B et E sont lignés, l’angle $\widehat{EBD} = 180$

Mais $\widehat{EBD} = \widehat{CBE} + \widehat{CBA} + \widehat{DBA}$ .

Conclusion $\alpha + \beta + \gamma = 180$ °.

II – Milieu et médiatrice d’un segment

Définition

Le milieu du segment [AB] est le point du segment [AB] qui est équidistant (à la même distance) des extrémités A et B.
Dit autrement : Le milieu d’un segment coupe ce segment en deux segments de même longueur.

Exemple : Le point A est le milieu du segment [RT]. Cela signifie que les points A,R et T sont alignés et que les distances AR et AT sont égales.

Codage du milieu : Pour indiquer sur une figure que deux segments ont la même longueur, on leur ajoute un même symbole (un petit disque noir dans cet exemple).

Définition

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par le milieu de ce segment.

Exemple : La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. Elle passe par le point M, milieu du segment [AB]. Elle forme avec [AB] un angle droit.

Propriétés

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Exemple : Soit (d) la médiatrice du segment [AB].

Si le point C appartient (d), alors les distances CA et CB sont égales.
Si CA = CB, alors C est un point de (d).

Construction de la médiatrice

Pour tracer la médiatrice du segment [AB] :

On trace un cercle de centre A qui passe par B.
On trace un cercle de centre B qui passe par A.
Ces deux cercles se coupent aux points C et D.
La droite (CD) est la médiatrice du segment [AB].

Pourquoi cette construction permet-elle d’obtenir la médiatrice ?

Les deux cercles ont le même rayon AB.
C appartient au cercle de centre A donc AC = AB.
C appartient au cercle de centre B donc BC = AB.
Par conséquent : AC = BC. Donc C est sur la médiatrice de [AB].
Un même raisonnement permet de démontrer que D est sur la médiatrice de [AB].
Ce qui permet de conclure que la droite (CD) est la médiatrice de [AB]

III – Médiatrices d’un triangle et cercle circonscrit

Propriétés

Un triangle possède trois médiatrices puisqu’il possède trois côtés.
Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.

Démonstration : On va utiliser la propriété vue précédemment selon laquelle un point appartient à la médiatrice d’un segment s’il est équidistant des extrémités de ce segment.

Soit un triangle $ABC$ . Nommons $D$ le point d’intersection des médiatrices des segments $[AB]$ et $[BC]$ et démontrons que $D$ appartient à la médiatrice de $[AC]$ , en vert sur la figure.

SI $D$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ alors $DA = DB$ . Si $D$ appartient la médiatrice de $[BC]$ alors $DB = DC$ .

Puisque $DA = DB$ et que $DB = DC$ alors $DA = DC$ . Cela permet donc d’affirmer que $D$ appartient à la médiatrice de $[AC]$ . Conclusion : Les médiatrices de $ABC$ sont concourantes en $D$ .

Définition : Cercle circonscrit

Le cercle passant par les trois sommets d’un triangle s’appelle le cercle circonscrit à ce triangle. Le centre de ce cercle est le point d’intersection des médiatrices du triangle.

Exemple : le cercle circonscrit du triangle $ABC$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $OA = OB = OC$ . Le point $O$ est le point d’intersection des médiatrices de $ABC$ .