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Les symétries centrales

I – Symétrie centrale

Définition
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsqu’elles se superposent après un demi-tour autour de ce point. Cette symétrie est appelée symétrie centrale de centre O.

Exemple : En faisant accomplir  autour du point un demi-tour à la figure \mathcal{F}, celle-ci se superpose exactement à la figure \mathcal{F'}.

Bien évidemment, en faisant accomplir  autour du point un demi-tour à la figure \mathcal{F'}, celle-ci se superpose exactement à la figure \mathcal{F}.

Les figures \mathcal{F} et \mathcal{F'} sont symétriques par rapport au point O.

Le point O est le centre de la symétrie qui transforme la figure \mathcal{F} en \mathcal{F'}.

II Symétrique d’un point

Définition
Deux points A et B sont symétriques par rapport au point C si et seulement si le point C est le milieu du segment.[AB]. Les phrases suivantes sont équivalentes :

  • A et B sont symétriques par rapport à C.
  • Le symétrique de A par rapport à C est B.
  • Le symétrique de B par rapport à C est A.
Propriété
Le symétrique d’un point M par rapport à M (lui-même) est M.

Construction du symétrique d’un point

Pour tracer le symétrique M’ de M par rapport à O :

  1. On trace à la règle la droite (MO);
  2. On trace un demi-cercle de centre O qui passe par M
  3. Ce demi-cercle coupe la droite (MO) au point M’, symétrique de M par rapport à O.

IV – Symétrique d’une droite

Propriété
Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle à la première droite.

Construction du symétrique d’une droite

Pour tracer le symétrique d’une droite par rapport au O :

  1. On choisit deux points de cette droite, par exemple M et N.
  2. On construit les symétriques des points M et N par rapport à O : M’ et N’
  3. On trace la droite qui passe par M’ et N’. C’est la droite symétrique de la droite (MN).

V – Symétrique d’un segment

Définition
Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. Les droites qui portent ces deux segments sont parallèles (voir propriété précédente)

Construction du symétrique d’un segment

Pour tracer le symétrique d’un segment [MN] par rapport au O :

  1. On construit les symétriques des points M et N par rapport à O : M’ et N’.
  2. Le segment [M’N’] est l’image du segment [MN] par rapport à O.

Construction du symétrique d’un polygone

Propriété
La symétrie centrale conserve la mesure des angles, les périmètres et les aires.

Un polygone est formé de plusieurs segments. Il suffit de construire le symétrique de chaque segment comme vu précédemment. On obtient un polygone de même forme et de même mesure.

Exemple : Le symétrique du triangle JKL par rapport à O est le triangle J’K’L’.

VI – Symétrie d’un cercle

Propriété
Le symétrique d’un cercle par rapport à un point est un cercle. Les deux cercles symétriques ont le même rayon et leurs centres sont également symétriques par rapport à ce point.

Pour tracer le symétrique du cercle de centre I :

  1. On construit le symétrique de I par rapport à O : I’.
  2. On tracer le cercle de centre O et de même rayon.

VII – Centre de symétrie

Propriété
Un point est le centre de symétrie d’une figure si le symétrique de cette figure par rapport à ce point est la figure elle-même.

Exemples :

  • Le milieu d’un segment est le centre de symétrie de ce segment.
  • Le centre d’un cercle est le centre de symétrie de ce cercle.
  • Le point d’intersection des diagonales d’une rectangle est le centre de symétrie de ce rectangle.
  • La carte du 6 de carreau possède un centre de symétrie qui est le point G.

ATTENTION : une figure peut ne pas avoir de centre de symétrie, comme par exemple, un triangle.