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Les nombres relatifs

I – Introduction

En sixième nous avons appris à placer des nombres sur une demi-droite graduée comme ceci : L’origine est le point d’abscisse 0 et l’abscisse du point C est le nombre 4.

En cinquième on va aussi s’intéresser à ce qu’il se passe à gauche de l’origine. On va s’intéresser à la droite entière et pas uniquement à la demi-droite.

Les abscisses des points à droite de l’origine seront appelées les nombres positifs et les abscisses des points à gauche de l’origine seront appelées les nombres négatifs.

Définitions
  • Les nombres supérieurs ou égaux à 0 sont appelés les nombres positifs.
  • Les nombres inférieurs ou égaux à 0 sont appelés les nombres négatifs.
  • 0 est considéré à la fois comme un nombre positif et un nombre négatif.
  • Les nombres positifs et les nombres négatifs forment l’ensemble des nombres relatifs.
Notation
  • Un nombre positif s’écrit avec un signe + mais ce signe n’est pas obligatoire
  • Un nombre négatif s’écrit toujours avec un signe -.

Exemples :

  • +4,9 ou 4,9 est un nombre positif. \dfrac{2}{3} est un nombre positif.
  • -7 est un nombre négatif. -\dfrac{7}{5} est un nombre positif.

II – Repérage sur une droite

Définitions
Une droite graduée est une droite sur laquelle on fixe :

  • un point O appelé origine de la droite graduée ;
  • une unité.
  • Tout point d’une droite graduée peut être repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.

Exemple :

  • L’abscisse de l’origine O est le nombre 0.
  • Les points A, B et C ont pour abscisses respectives –4 ; –-2,5 et 4.
    On note A(–-4) ; B(–-2,5) et C(4).
Définition
Soit un nombre relatif, abscisse d’un point M de la droite graduée d’origine O. La distance à zéro de ce nombre relatif est la distance OM.

Exemple :

La distance à zéro du nombre –-2,5 est la distance OB car B a pour abscisse –-2,5.
Elle vaut donc 2,5.

La distance à zéro du nombre -4 est la distance OC. Elle est donc égale à 4.

Définition
Deux nombres relatifs qui ont des signes contraires et qui ont la même distance à zéro sont dits opposés.

Exemple : les nombres 4 et -4 ont la même distance à zéro. ils sont opposés.

Propriété
Deux points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine.

Exemple : les points A(-4) et C(4) sont bien symétriques par rapport à l’origine car ils ont la même distance à zéro qui vaut 4 et leurs abscisses sont de signe opposé.

III – Comparaison de nombres relatifs

Propriétés
  • Deux nombres relatifs positifs sont rangés dans l’ordre de leur distance à zéro.
  • Un nombre relatif négatif est toujours inférieur à un nombre relatif positif.
  • Deux nombres relatifs négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leur distance à zéro.

Exemple : -12 < -7 < 0 < 2 < 19

IV – Addition de deux nombres relatifs

Propriétés
  • Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leur distance à zéro et on garde le signe commun.
  • Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait leur distance à zéro et le signe du résultat est le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro.
  • La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

Exemple : On veut calculer A = (-7) +(-3).

  • La distance à zéro de -7 est 7
  • La distance à zéro de -3 est 3
  • La somme des distances à zéro est : 7+3=10.
  • On rajoute le signe commun : A= -10

Remarque : La somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif.

(+7)+(+3) = 7 + 3 = 10. C’est l’addition de deux nombres telle que nous la connaissions en classe de sixième.

Exemple : On veut calculer B = (-7) +(+3).

  • La distance à zéro de -7 est 7
  • La distance à zéro de +3 est 3. C’est donc -7 qui a la plus grande distance à zéro.
  • La soustraction de leur distance à zéro est : 7-3=4.
  • On ajoute le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro : B = -4

Exemple : (-1,3)+(+1,3) =0 car les deux nombres sont oposés.

Méthode
Pour calculer la somme de plusieurs nombres relatifs, on peut commencer par regrouper, d’un côté, les nombres positifs et calculer leur somme, et de l’autre, les nombres négatifs et calculer leur somme.

On peut aussi commencer par regrouper des termes opposés s’il y en a.

Exemple : On veut calculer C=(-4,3)+(+10,8)+(+3,7)+(-12)

  • La somme des deux nombres positifs est : (+10,8)+(3,7)=+14,4=14,5
  • La somme des deux nombres négatifs est : (-4,3)+(-12) = -16,3
  • Donc C = 14,5 + (-16,3)
  • La distance à zéro de 14,5 est 14,5
  • La distance à zéro de -16,3 est 16,3. C’est donc -16,3 qui a la plus grande distance à zéro.
  • La soustraction de leur distance à zéro est : 16,3-14,5=1,8.
  • Finalement C = -1,8

V – Soustraction de deux nombres relatifs

Propriété
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.

Exemple : On veut calculer D = (-3,1)-(+2,9)

  • L’opposé de +2,9 est -2,9.
  • Donc, D = (-3,1)+(-2,9). On a maintenant une addition de deux nombres négatifs.
  • On fait la somme des distances à zéro : 3,1 + 2,9 = 6.
  • On ajoute le signe commun à (-3,1) et (-2,9), soit D = 6.

Exemple : On veut calculer E = (-7) - (-11)

  • L’opposé de -11 est +11.
  • Donc, E = (-7)+(+11). On a maintenant une addition de deux nombres de signes opposés. Celui qui a la plus grande distance à zéro est +11.
  • On fait la différence des distances à zéro : 11-7 = 4.
  • On ajoute le signe de +11, soit E = 4.

Exemple : (-21)-(-21) = 0. Il s’agit uniquement de la différence de deux nombres égaux, -21.

Méthode
Dans une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs, on commence par remplacer chaque soustraction par l’addition du nombre opposé.

Avec l’habitude, on se rend compte que, dans une suite d’additions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes d’addition et les parenthèses autour de chaque nombre, et le signe d’un nombre positif écrit en début de calcul.

Exemple : On veut calculer F = (+7,8) - (+5) -(-14)

  • On commence par remplacer les soustractions par des additions d’opposés :
  • F = (+7,8) + (-5) +(+14). Puis on supprime les parenthèses inutiles :
  • F = 7,8 - 5 + 14. Ensuite on s’occupe de la première soustraction :
  • F = 2,8 + 14. Puis de l’addition :
  • F = 16,8

Exemple : On veut calculer G = (-11) + (+3) + (-7)

  • On supprime les parenthèses inutiles :
  • G = -11 + 3 - 7.
  • Puis On s’occupe de la première addition, de deux nombres de signes opposés :
  • G = -8 - 7. Enfin on fait la somme de deux nombres négatifs.
  • G = -15

VI – Calcul de la distance entre deux points

Propriété
Pour calculer la distance entre deux points, sur une droite graduée, on effectue la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse.

Exemple :

  • La distance entre le point A et le point B est : 5 - 2 = 3 unités de longueur.
  • La distance entre B et C est : 2 -(-3) = 2 + (+3) = 2+3 = 5 unités de longueur.
  • La distance entre C et D est : (-3)-(-6) = (-3)+(+6) = 6 - 3 = 3 unités de longueur.