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Les nombres entiers

I – Décomposition, nom des chiffres

Règle
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont les dix chiffres qui permettent d’écrire tous les nombres entiers, de même que les lettres de A à Z permettent d’écrire tous les mots.

Exemples :

  • 1 054 est un nombre de quatre chiffres.
  • 7 est un nombre d’un seul chiffre.
Règle
Pour pouvoir lire les grands nombres entiers facilement, on regroupe les chiffres par tranches de trois en partant de la droite.

 Exemple : 1049658723 s’écrit 1 049 658 723.

On peut utiliser un tableau comme celui-ci :

Ce nombre s’écrit : un-milliard-quarante-neuf-millions-six-cent-cinquante-huit-mille-sept-cent-vingt-trois.

Il se décompose ainsi :
1 049 658 723 = (1 x 1 000 000 000) + (4 x 10 000 000) + (9 x 1 000 000) + (6 x 100 000) + (5 x 10 000) + (8 x 1 000) + (7 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1).

7 est le chiffre des centaines et 4 est le chiffre des dizaines de millions.

Le nombre de millions est 1 049. À ne pas confondre avec le chiffre des millions qui est 9.

II – Repérage sur une demi-droite graduée

Définition
Une demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a reporté une unité de longueur régulièrement (souvent le centimètre) à partir de son origine.
Propriété
Sur une demi-droite graduée, un point est repéré par un nombre appelé son abscisse. L’origine est repérée par le nombre zéro.

Exemple : Quelles sont les abscisses des points A et B ?

Le point A a pour abscisse 300. On note A(300). B est le point d’abscisse 800. On note B(800).

III – Comparaison et rangement

Définition
Comparer deux nombres, c’est trouver le plus grand (ou le plus petit) des deux ou dire s’ils sont égaux.
Définition
  • Ranger des nombres dans l’ordre croissant signifie les ranger du plus petit au plus grand.
  • Ranger des nombres dans l’ordre décroissant signifie les ranger du plus grand au plus petit.

Exemple : Pour ranger les nombres 25 342 ; 253 420 ; 25 243 ; 235 420 ; 25 324 dans l’ordre croissant, on repère le plus petit, puis le plus petit des nombres qui restent, et ainsi de suite jusqu’au dernier.

On obtient donc : 25 243 – 25 324 – 25 342 – 235 420 – 253 420.

IV – Addition

Définition
  • Les nombres que l’on additionne s’appellent les termes.
  • Le résultat d’une addition s’appelle la somme.

Exemple : On pose et on calcule : 1 856 + 525.

On place les chiffres les uns sous les autres en commençant par les chiffres des unités.

  • Les nombres 1 856 et 525 sont les termes de l’addition.
  • Le résultat 2 381 est la somme.
Propriété

Dans une addition, on a le droit de :

  • regrouper les termes ;
  • changer des termes de place.

Exemple : Comment calculer astucieusement 46 + 37 + 54 + 63 ?

46 + 37 + 54 + 63 =  (46 + 54) + (37 + 63) = 100 + 100 = 200

V – Soustraction

Définition
  • Les nombres que l’on soustrait s’appellent les termes.
  • Le résultat d’une soustraction s’appelle la différence.

Exemple : On pose et on calcule : 233 − 67.

On procède comme pour l’addition.

  • Les nombres 233 et 67 sont les termes de la soustraction.
  • Le résultat 166 est la différence.
ATTENTION : On ne peut pas changer les termes de place dans une soustraction.

VI – Multiplication

Définition
  • Les nombres que l’on multiplie s’appellent les facteurs.
  • Le résultat d’une multiplication s’appelle le produit.

Exemple : On pose et on calcule : 233 − 67

  • Les nombres 83 et 117 sont les facteurs de la multiplication.
  • Le résultat 9 711 est le produit.
Propriété
Dans une multiplication, on a le droit de regrouper des facteurs ou de changer des facteurs de place.

 Exemple : Comment calculer astucieusement 4 × 56 × 25 ?

4 × 56 × 25 = (4 × 25) × 56 = 100 × 56 = 5 600

VII – Division euclidienne

Règle
Dans une division euclidienne, on a toujours : dividende = (diviseur × quotient) + reste avec reste < diviseur.

Exemple : On pose et on calcule la division de 893 par 13.

Exemple : Un fleuriste a reçu 260 roses. Il prépare des corbeilles de 12 roses chacune. Combien de corbeilles peut-il préparer ?

On cherche combien de fois il y a 12 dans 260 : 260 = (12 × 21) + 8 avec 8 < 12.

Il pourra donc préparer 21 corbeilles de 12 roses mais il lui restera 8 roses.

VIII – Divisibilité

1) Multiples et diviseurs d’un nombre entier

  • Après avoir effectué la division euclidienne de 3 577 par 49, on obtient 3 577 = 49 × 73.
  • Le reste étant nul, 3 577 est un multiple de 49 (et de 73 aussi !).
  • On dit également que 3 577 est divisible par 49 ou que 49 est un diviseur de 3 577 ou que 49 divise 3 577.

2) Critères de divisibilité

Règle
  • Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
  • Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités (dans cet ordre) est un multiple de 4.
  • Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
  • Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple : On considère le nombre 23 928. Est-il divisible par 2, 5, 4, 3 et 9 ?

  • Son chiffre des unités est 8 donc 23 928 est divisible par 2.
  • Son chiffre des unités n’est ni 0 ni 5 donc 23 928 n’est pas divisible par 5.
  • Le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est 28 qui est divisible par 4 donc 23 928 est divisible par 4.
  • La somme de ses chiffres : 2 + 3 + 9 + 2 + 8 soit 24 est un multiple de 3 donc 23 928 est divisible par 3.
  • La somme de ses chiffres : 2 + 3 + 9 + 2 + 8 soit 24 n’est pas un multiple de 9 donc 23 928 n’est pas divisible par 9.

IX – Opérations sur les durées

1) Conversion de durées

Définition
  • Il y a 24 heures dans une journée
  • Il y a 60 minutes dans une heure
  • Il y a 60 secondes dans une minute.

Exemple : Combien y a-t-il de minutes dans 5 h 27 min ?

Exemple : Combien y a-t-il de secondes dans 2 h 47 min 53 s ?

Exemple : Combien y a-t-il d’heures, minutes et secondes dans 41 000 s ?

2) Addition de durées

Exemple : Un match dure 3 h 38 min et le suivant dure 2 h 49 min. Quelle est la durée totale de ces deux matchs ?

On effectue deux additions indépendantes : les minutes entre elles et les heures entre elles.

Mais le nombre de minutes obtenu est 87 qui est supérieur à 59. On va donc le convertir en heures et minutes sachant que 60 min = 1 h. 5 h 87 = 5 h + 60 + 27 = 6 h 27 min

La durée totale de ces deux matchs est donc de 6 h 27 min.

3) Soustraction de durées

Exemple : Un film débute à 15 h 27 et finit à 18 h 14. Quelle est la durée de ce film ?

On effectue deux soustractions indépendantes : les minutes entre elles et les heures entre elles.

Mais on ne peut pas enlever 27 à 14. On va donc convertir 1 des 18 heures en 60 min. 18 h 14 min = 17 h + 1 h 14 min = 17 h + 60 min + 14 min = 17 h 74 min.

Ce film dure donc 2 h 47 min.