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Les nombres décimaux

I – Sous-multiples de l’unité

1) Les dixièmes

Définition

Quand on coupe une unité en 10 parties égales, on obtient des dixièmes.

Un dixième se note : \dfrac{1}{10}. Dans l’unité, il y a 10 dixièmes donc : 1 = 10 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{10}{10}.

Exemples :

\dfrac{1}{10} = 0,1
3 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{10} = 0,3
\dfrac{10}{10} + \dfrac{10}{10} + \left ( 8 \times \dfrac{1}{10} \right ) = \dfrac{28}{10} = 1 + 1 + 0,8 = 2,8

2) Les centièmes

Définition

Quand on coupe une unité en 100 parties égales, on obtient des centièmes.

Un centième se note : \dfrac{1}{100}. Dans l’unité, il y a 100 centièmes donc : 1 = 100 \times \dfrac{1}{100} = \dfrac{100}{100}.

Exemples :

\dfrac{1}{100} = 0,01
32 \times \dfrac{1}{100} = \dfrac{32}{100} = 0,32

\left ( 3 \times \dfrac{1}{10} \right ) + \left ( 2 \times \dfrac{1}{100} \right ) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{100} = 0,32

\dfrac{100}{100} + \dfrac{100}{100} + \dfrac{75}{100} = \dfrac{275}{100} = 2,75

1 + 1 + \left ( 7 \times \dfrac{1}{10} \right )  + \left ( 5 \times \dfrac{1}{100} \right ) = 2 + \dfrac{7}{10}  + \dfrac{5}{100} = 2,75

3) Les millièmes

Définition

Quand on coupe une unité en 1000 parties égales, on obtient des millièmes.

Un millième se note : \dfrac{1}{1000}. Dans l’unité, il y a 1000 millièmes donc : 1 = 1000 \times \dfrac{1}{1000} = \dfrac{1000}{1000}.

Exemple :

On se rappelle que : {14 \: 531} = {14 \: 000} + 500 + 30 + 1

    \[ \dfrac{14 \: 531}{1000} = {14 \: 531} \times \dfrac{1}{1000} = {14 \: 000} \times \dfrac{1}{1000} + 500 \times \dfrac{1}{1000} + 31 \times \dfrac{1}{1000} +1 \times \dfrac{1}{1000} = 14,531\]

II – Décomposition et nom des chiffres

Définitions
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale, dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est 1, 10, 100, 1 000…

Il peut aussi se noter en utilisant une virgule, c’est son écriture décimale qui est composée d’une partie entière et d’une partie décimale.

Exemple : On considère le nombre décimal 1 345,824.

On peut utiliser un tableau pour représenter ce nombre :

Ce nombre peut se lire de trois manières différentes :

  • mille-trois-cent-quarante-cinq unités et huit−cent−vingt−quatre millièmes
  • mille-trois-cent-quarante-cinq unités et huit dixièmes deux centièmes quatre millièmes
  • mille-trois-cent-quarante-cinq unités virgule huit−cent−vingt−quatre

Il peut se décomposer ainsi :

    \[ {1 \: 345,824} = (1 \times 1000) + (3 \times 100) + (4 \times 10) + (5 \times 1) + \left ( 8 \times \dfrac{1}{10} \right ) + \left ( 2 \times \dfrac{1}{100} \right ) + \left ( 4 \times \dfrac{1}{1000} \right ) \]

Voici le nom de chaque chiffre :

  • 1 est le chiffre des unités des milliers
  • 3 est le chiffre des centaines
  • 4 est le chiffre des dizaines
  • 5 est le chiffre des unités
  • 8 est le chiffre des dixièmes
  • 2 est le chiffre des centièmes
  • 4 est le chiffre des millièmes
Remarque : Un nombre entier est un nombre décimal.
Par exemple :

  • 25 peut s’écrire avec une virgule : 25,0
  • 25 peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale : \dfrac{25}{1}.

III – Repérage sur une demi-droite graduée

 Exemple : Quelles sont les abscisses des points A et B ?

Une unité est divisée en dix parts égales, ce qui signifie qu’elle est partagée en dix dixièmes.

Le point A se trouve 2 dixièmes après 3, donc son abscisse est 3 + \dfrac{2}{10} = 3,2.

Le point B se trouve 3 dixièmes après l’origine du repère O, donc son abscisse est \dfrac{3}{10} = 0,3.

On note A(3,2) et B(0,3).

IV – Comparaison et rangement

1) – Comparaison de deux nombres décimaux

Définition
Comparer deux nombres, c’est trouver lequel est le plus grand (ou le plus petit) ou dire s’ils sont égaux.
Règle
Pour comparer deux nombres décimaux écrits sous forme décimale :

  • on compare les parties entières ;
  • si les parties entières sont égales alors on compare les chiffres des dixièmes ;
  • si les chiffres des dixièmes sont égaux alors on compare les chiffres des centièmes ;
  • et ainsi de suite jusqu’à ce que les deux nombres aient des chiffres différents.

Exemple : On veut comparer les nombres 81,357 et 81,36.

  • On compare d’abord les parties entières des deux nombres ;
  • elles sont égales donc on compare les chiffres des dixièmes ;
  • ils sont égaux donc on compare les chiffres des centièmes ;
  • 5 < 6 donc 81,357 < 81,36.

Autre méthode :

Dans le cas où deux nombres ont la même partie entière, on compare leur partie décimale. Pour comparer les parties décimales sans faire d’erreur, il faut que celles-ci possèdent le même nombre de chiffres. Si l’une en possède moins que l’autre, on lui ajoute autant de zéros que nécessaire.

Pour comparer 81,357 et 81,36, on compare 357 avec 360, après avoir ajouté un zéro à 36. On constate alors que 357 < 360 donc que 81,357 < 81,36.

2) Rangement de nombres décimaux

Exemple : Pour ranger les nombres 25,342 ; 253,42 ; 25,243 ; 235,42 ; 25,324 dans l’ordre croissant, on repère le plus petit puis le plus petit des nombres qui restent et ainsi de suite jusqu’au dernier.

On obtient donc : 25,243 < 25,324 < 25,342 < 235,42 < 253,42.

V – Ordre de grandeur

Définition
Un ordre de grandeur d’un nombre est une valeur approchée simple de ce nombre.

Remarque : Calculer un ordre de grandeur permet de vérifier plus facilement la cohérence d’un résultat, c’est-à-dire que ce résultat est logique par rapport à l’énoncé du problème.

Exemple : La superficie de la France métropolitaine est de 551 695 km2. Un ordre de grandeur de cette superficie est de 550 000 km2. Cet ordre de ordre de grandeur n’est pas la valeur exacte de la superficie de la France métropolitaine mais est une valeur suffisamment proche pour être utilisée dans des calculs.

Exemple : On veut déterminer un ordre de grandeur du calcul suivant : 546,3 + 52.

On cherche un ordre de grandeur de chaque terme qu’on utilise dans le calcul.

550 est proche de 546,3 et 50 est proche de 52. Comme 550 + 50 = 600, la somme 546,3 + 52 est proche de 600. On dit que 600 est un ordre de grandeur de 546,3 + 52.

Exemple : veut déterminer un ordre de grandeur du calcul suivant : 65,7 × 4,1

On cherche un ordre de grandeur de chaque facteur qu’on utilise dans le calcul.

65,7 est proche de 65 et 4,1 est proche de 4. Comme 65 × 4 = 260, le produit 65,7 × 4,1 est proche de 260. 260 est donc un ordre de grandeur de 65,7 × 4,1.

Remarque : Un ordre de grandeur n'est pas unique.
Pour l’exemple précédent, on aurait pu prendre 70 comme valeur proche de 65,7 et 4 comme valeur proche de 4,1. Ce qui aurait donné 70 × 4 = 280 comme ordre de grandeur du produit 65,7 × 4,1.

VI – Addition et soustraction de nombres décimaux

Règle
Pour poser et effectuer une addition ou une soustraction de nombres décimaux, on place les nombres les uns en dessous des autres, de sorte que les virgules soient alignées verticalement. Ensuite, on utilise les règles de l’addition et de la soustraction des nombres entiers, en n’oubliant pas à la fin de placer la virgule, si nécessaire.

Cette addition est mal posée car le nombre 84, qui n’a pas de virgule, devrait être placé sous la partie entière de 12,7. Cette addiction est correctement posée.

 

Pour poser la soustraction 12 – 6,7, on place les nombres correctement et on ajoute un zéro pour que les deux nombres aient le même nombre de chiffres dans leurs parties décimales (en effet, 12 = 12,0).

VII – Multiplication et division par 10 ; 100 ; 1000 …

Pour multiplier par on décale les chiffres de : Exemples
10 1 rang vers la gauche 0,47 × 10 = 4,7
100 2 rangs vers la gauche 35 × 100 = 35,00 × 100 = 3 500
1000 3 rangs vers la gauche 9,82 × 1 000 = 9,820 × 1 000 = 9 820

 

Pour diviser par on décale les chiffres de : Exemples
10 1 rang vers la droite 27 ÷ 10 = 27,0 ÷ 10 = 2,7
100 2 rangs vers la droite 456,5 ÷ 100 = 4,565
1000 3 rangs vers la droite 0,3 ÷ 1 000 = 0000,3 ÷ 1 000 = 0,0003

 

VII – Conversion des unités de longueur et de masse

Unités de longueur

Exemples :

  • 1 km = 1000 m = 100 000 cm
  • 1 mm = 0,01 dm

Unités de masse

Exemples :

  • 1 kg = 100 dag = 1000 g = 1 000 000 mg
  • 1 dg = 0,1 g = 0,01 hg

Remarque : On utilise également d’autres unités de masse :

  • le quintal (q) qui équivaut à 100 kg : 1 q = 100 kg ;
  • la tonne (t) qui équivaut à 1 000 kg : 1 t = 1 000 kg.

VIII – Multiplication de deux nombres décimaux

1) Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

 

Multiplier par C’est diviser par Exemples
0,1 10 car 0,1 = \dfrac{1}{10} 78 x 0,1 = 7,8
0,01 100 car 0,01 = \dfrac{1}{100} 3,5 × 0,01 = 003,5 × 0,01 = 0,035
0,001 1000 car 0,001 = \dfrac{1}{1000} 56,2 × 0,001 = 0056,2 × 0,001 = 0,0562

 

2) Multiplication de deux nombres décimaux

Règle
Pour effectuer la multiplication de deux nombres décimaux,

  • on effectue d’abord la multiplication sans tenir compte des virgules ;
  • on place la virgule dans le produit en utilisant la méthode décrite dans l’exemple.

Exemple : On veut effectuer la multiplication de 2,34 par 1,2.

234 est 100 fois plus grand que 2,34 et 12 est 10 fois plus grand que 1,2.

Le produit 2,34 x 1,2 est donc 1 000 fois plus petit que 2 808.

Finalement 2,34 × 1,2 = 2,808.

 

 

Le facteur 2,34 a deux chiffres après la virgule.

Le facteur 1,2 a un chiffre après la virgule.

On doit donc placer la virgule dans le produit de telle sorte qu’il y ait 2 + 1 = 3 chiffres après la virgule.

 

IX – Division d’un nombre décimal par un nombre entier

Règle
Effectuer la division décimale de deux nombres, c’est trouver la valeur exacte ou une valeur approchée du quotient de ces deux nombres.

Exemples : On va effectuer la division de 75,8 par 4 puis celle de 4,9 par 9.

Dès que l’on abaisse le chiffre des dixièmes du dividende, on place la virgule dans le quotient.

 

Le nombre 18,95 est la valeur exacte du quotient de 75,8 par 4.

 

 

 

 

Le nombre 0,544 est une valeur approchée au millième du quotient de 4,9 par 9.