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Les fractions – Première partie

I – Vocabulaire

ATTENTION :

  • Le numérateur et le dénominateurs sont des nombres entiers (pas de virgule)
  • Le dénominateur d’une fraction ne doit jamais être égal à zéro.
Propriété
Tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’une fraction.

Exemple : 21 = \dfrac{21}{1}.

II – Lecture d’une fraction

Règle
Pour lire une fraction, on lit d’abord le nombre du numérateur puis le nombre du dénominateur en ajoutant le suffixe  »ièmes ».

Exemples : \dfrac{4}{7} se lit quatre septièmes et \dfrac{3}{10} se lit trois dixièmes.

Mais il existe des exceptions :

III – Fraction et partage

Exemple : Colorier les deux sixièmes d’un disque :

On partage le disque en six parts égales : Chaque part représente \dfrac{1}{6} du disque entier.
On colorie deux parts sur les six. La partie colorée est constituée de deux parts de \dfrac{1}{6}. Donc \dfrac{2}{6} = 2 \times \dfrac{1}{6}

IV – Quotient sous la forme d’une fraction

Définition
La fraction \dfrac{a}{b} est une façon d’écrire le quotient (le résultat exact) de la division de a par b.

C’est-à-dire que a \div b = \dfrac{a}{b}.

On dit également que \dfrac{a}{b} est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Soit \dfrac{a}{b} \times b = a.

1 unité est représentée par :
4 unités sont représentées par :
\dfrac{4}{3} d’unité sont représentés par :
3 \times \dfrac{4}{3} d’unité sont représentés par :

 

\dfrac{4}{3} est le nombre tel que 3 \times \dfrac{4}{3} = 4, soit le nombre tel que \dfrac{4}{3} \times 3 = 4

V – Comparaison d’une fraction à 1

Règles
  • Si le numérateur est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à 1.
  • Si le numérateur et le dénominateur sont égaux alors la fraction est égale à 1.
  • Si le numérateur est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à 1.

Exemple : Comment comparer les fractions \dfrac{11}{15}, \dfrac{15}{15} et \dfrac{17}{15} à 1 ?

\dfrac{11}{15} est inférieure à 1 car le numérateur 11 est inférieur au dénominateur 15.

\dfrac{15}{15} est égale à 1 car le numérateur 15 est égal au dénominateur 15.

\dfrac{17}{15} est supérieure à 1 car le numérateur 17 est supérieur au dénominateur 15.

VI – Encadrement d’une fraction entre deux nombres entiers consécutifs

Règle
On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. On obtient un quotient qui correspond à la valeur approchée à l’unité par défaut de la fraction.

Exemple : Pour encadrer la fraction \dfrac{39}{7} entre deux entiers consécutifs.

On effectue la division euclidienne de 39 par 7 : 39 = 5 x 7 + 4.

5 est la valeur approchée à l’unité par défaut de la fraction \dfrac{39}{7}.

Donc 5 < \dfrac{39}{7} < 5+1, soit 5 < \dfrac{39}{7} < 6

VII – Décomposition d’une fraction

Règle
Toute fraction peut se décomposer en une somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1.

Exemple : Pour décomposer la fraction \dfrac{39}{7} en somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1 :

On sait déjà que 39 = 5 x 7 + 4. Donc \dfrac{39}{7} = 5 + \dfrac{4}{7}. On vérifie bien que \dfrac{4}{7} < 1.

Remarque : On utilise les symboles > pour « plus grand que » et < pour « plus petit que ».

VIII – Fraction et demi-droite graduée

Exemple : Sur une demi-droite graduée, on veut placer les points A et B d’abscisses respectives \dfrac{5}{6} et \dfrac{22}{6}.

On commence par on choisir une unité de longueur que l’on partage en six parts égales. Chacune de ces parts correspond donc à \dfrac{1}{6} de de l’unité.

Pour placer le point A, on remarque que \dfrac{5}{6} = 5 \times \dfrac{1}{6}. Donc on reporte cinq sixièmes à partir du point O.

Pour placer le point B, on décompose la fraction \dfrac{22}{6} en faisant la division euclidienne de 22 par 6.

On obtient \dfrac{22}{6} = 3 + \dfrac{4}{6} . Donc on reporte quatre sixièmes après 3.