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Les fractions

I – Quotient

Définition
a et b désignent deux nombres et b \ne 0 ».

Le quotient \dfrac{a}{b} est le résultat exact de la division de a par b. C’est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Soit \dfrac{a}{b} \times b = a.

Exemples :

  • Le quotient de la division de 3 par 4 s’écrit \dfrac{3}{4}. Ce quotient vérifie l’égalité : \dfrac{3}{4} \times 4 = 3. En effet nous savons que 3 \div 4 = 0,75 et que 0,75 \times 4 = 3. Dans cet exemple \dfrac{3}{4} est le nombre décimal 0,75.
  • Le quotient de la division de 10 par 3 s’écrit \dfrac{10}{3}. Ce quotient vérifie l’égalité : \dfrac{10}{3} \times 3 = 10. Par contre le résultat de la division de 10 par 3 ne tombe pas juste. Dans cet exemple \dfrac{10}{3} n’est pas un nombre décimal. Une valeur approchée de \dfrac{10}{3} est 3,333.
Propriété
Tout nombre peut s’écrire sous la forme d’une fraction.

Exemple : 3,14 = \dfrac{3,14}{1} car on ne change pas un nombre en le divisant par 1.

II – Quotients égaux

Propriétés

Soient a , b et k des nombres, avec b \ne 0 et k \ne 0.

  • Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}
  • Un quotient ne change pas quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}

Exemple : Les aires des trois surfaces coloriées sont égales. Elles correspondent à trois quotient qui sont égaux.

\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3} \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6} \dfrac{8}{12} = \dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = \dfrac{2}{3}

III – Fraction et proportion

Définition
Un quotient, dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers (nombres sans virgule), est appelée fraction.

Exemple : \dfrac{2,13}{7} est un quotient. \dfrac{2}{7} est une fraction.

Remarque : Une fraction représente aussi une proportion, une partie d’un tout. Nous découpons une tarte pour en manger une partie (en bleu ci-dessous). La fraction représente la partie colorée.

Une demi-tarte : \dfrac{1}{2} Un tiers de tarte : \dfrac{1}{3} Un quart de tarte : \dfrac{1}{4} Deux cinquièmes de tarte : \dfrac{2}{5}

 

Exemple : Dans un groupe de 11 personnes, 4 portent des lunettes. La proportion de porteurs de lunettes au sein de ce groupe sera donnée par la fraction : \dfrac{4}{11}

IV – Critères de divisibilité

Règle
  • Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
  • Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités (dans cet ordre) est un multiple de 4.
  • Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
  • Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple : On considère le nombre 23 928. Est-il divisible par 2, 5, 4, 3 et 9 ?

  • Son chiffre des unités est 8 donc 23 928 est divisible par 2.
  • Son chiffre des unités n’est ni 0 ni 5 donc 23 928 n’est pas divisible par 5.
  • Le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est 28 qui est divisible par 4 donc 23 928 est divisible par 4.
  • La somme de ses chiffres : 2 + 3 + 9 + 2 + 8 soit 24 est un multiple de 3 donc 23 928 est divisible par 3.
  • La somme de ses chiffres : 2 + 3 + 9 + 2 + 8 soit 24 n’est pas un multiple de 9 donc 23 928 n’est pas divisible par 9.

V – Simplification de fraction

Définition
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits.

Une fraction que l’on ne peut plus simplifier est dite irréductible.

Exemple : On va simplifier le plus possible la fraction \dfrac{48}{60}

Pour simplifier cette fraction, on cherche des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur.

    \[ \dfrac{48}{60} = \dfrac{2 \times 24}{2 \times 30} = \dfrac{24}{30} = \dfrac{2 \times 12}{2 \times 15} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{3 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{4}{5} \]

\dfrac{4}{5} n’est plus simplifiable, elle est donc irréductible. C’est la fraction la plus simple égale à \dfrac{48}{60}.

APPLICATION À LA DIVISION :

On veut connaître le résultat de la division de 9 par 0,4 sans avoir à poser cette division.

    \[ 9 \div 0,4 = \dfrac{9}{0,4} = \dfrac{9 \times 10}{0,4 \times 10} = \dfrac{90}{4} = \dfrac{90 \div 2}{4 \div 2} = \dfrac{45}{2} = 22,5 $\]

VI – Fractions décimales

Définition
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1 ou 10 ou 100 ou 1000 ou…

Exemple : \dfrac{213}{10} est une fraction décimale.

Propriété
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale et toute fraction décimale est un nombre décimal.

Exemple : 21,3 = \dfrac{21,3}{1} = \dfrac{21,3 \times 10}{1 \times 10} = \dfrac{213}{10}.

VII – Pourcentage

Définition
Une fraction décimale dont le dénominateur est 100 s’appelle un pourcentage.

Les pourcentages sont très utiles pour exprimer des proportions, des augmentations ou des diminutions. On les rencontre partout : pourcentage de globules blancs dans le sang, sondages d’opinion, pourcentage de chômage, pourcentage de gaz carbonique dans l’atmosphère, pourcentage de services gagnants au tennis,… Vous en aurez souvent besoin.

1) Calcul d’un pourcentage

Exemple : Une ville compte 25 000 électeurs. Le vainqueur des dernières élections municipales a obtenu 13 500 voix. Quel est le pourcentage des électeurs de cette ville qui ont voté pour ce candidat ?

La proportion recherchée est : \dfrac{13\:500}{25\:000} = \dfrac{13,5 \times 1000}{25 \times 1000} = \dfrac{13,5}{25} = \dfrac{13,5 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{54}{100}. Conclusion : 54% des habitants de cette ville ont voté pour le gagnant.

2) Calcul à partir d’un pourcentage

Règle
Calculer x \% d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par \dfrac{x}{100}.

Exemple : 36 % des 425 élèves d’un collège sont externes. Combien y a-t-il d’élèves externes ?

Pour calculer le nombre d’externes, on calcule 36 % de 425 : \dfrac{36}{100} \times 425 = \dfrac{36 \times 425}{100} = \dfrac{15 \: 300}{100} = 135. Il y a donc 153 élèves externes dans ce collège.

3) Pourcentages particuliers

Prendre 10 % d’un nombre, c’est en prendre le dixième. Car \dfrac{10}{100} = \dfrac{10 \times 1}{10 \times 10} = \dfrac{1}{10}.

Prendre 50 % d’un nombre, c’est en prendre la moitié. Car \dfrac{50}{100} = \dfrac{50 \times 1}{50 \times 2} = \dfrac{1}{2}.

Prendre 25 % d’un nombre, c’est en prendre le quart. Car \dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \times 1}{25 \times 4} = \dfrac{1}{4}.

Prendre 75 % d’un nombre, c’est en prendre les trois quarts. Car \dfrac{75}{100} = \dfrac{25 \times 3}{25 \times 4} = \dfrac{3}{4}.

Prendre 100 % d’un nombre, c’est en prendre la totalité. Car \dfrac{100}{100} = 1.

VIII – Comparaison de fractions

Propriété
Si deux fractions ont le même dénominateur, celle qui a le plus grand numérateur, est la fraction la plus grande.

Exemple : Si deux personnes partagent une tarte en 6 parts égales et que l’une d’entre elles mange 4 parts, il en restera 2 pour l’autre personnes. La première personne aura mangé \dfrac{4}{6} de la tarte et l’autre personne mangera que \dfrac{2}{6} de le tarte.

On devine facilement qui en a eu le plus : \dfrac{2}{6} < \dfrac{4}{6}