Les fractions

I – Quotient

Définition
a et b désignent deux nombres et b \ne 0 ».

Le quotient \dfrac{a}{b} est le résultat exact de la division de a par b. C’est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Soit \dfrac{a}{b} \times b = a.

Exemples :

  • Tout nombre décimal a peut d’écrire sous la forme d’un quotient. En effet a = a \times 1 donc a = \dfrac{a}{1}.
  • Le quotient de la division de 3 par 4 s’écrit \dfrac{3}{4}. Ce quotient vérifie l’égalité : \dfrac{3}{4} \times 4 = 3. En effet nous savons que 3 \div 4 = 0,75 et que 0,75 \times 4 = 3. Dans cet exemple \dfrac{3}{4} est le nombre décimal 0,75.
  • Le quotient de la division de 10 par 3 s’écrit \dfrac{10}{3}. Ce quotient vérifie l’égalité : \dfrac{10}{3} \times 3 = 10. Par contre le résultat de la division de 10 par 3 ne tombe pas juste. Dans cet exemple \dfrac{10}{3} n’est pas un nombre décimal. Une valeur approchée de \dfrac{10}{3} est 3,333.

II – Quotients égaux

Propriétés des quotients égaux

Soient a , b et k des nombres, avec b \ne 0 et k \ne 0.

  • Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}
  • Un quotient ne change pas quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}

Exemple : Les aires des trois surfaces coloriées sont égales. Elles correspondent à trois quotient qui sont égaux.

\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3} \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6} \dfrac{8}{12} = \dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = \dfrac{2}{3}

Démonstration :

Première partie : D’après la définition du quotient de a \times k par b \times k, on sait que \dfrac{a \times k}{b \times k} est le nombre qui multiplié à b \times k donne a \times k : \dfrac{a \times k}{b \times k} \times (b \times k) = a \times k.

Faisons le calcul suivant : \dfrac{a}{b} \times (b \times k) = \dfrac{a}{b} \times b \times k = \left ( \dfrac{a}{b} \times b \right ) \times k = a \times k. Cela signifie que \dfrac{a}{b} est le nombre qui multiplié à (b \times k) donne a \times k.

Conclusion : \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}

Deuxième partie : En utilisant le résultat de la première partie, on peut écrire l’égalité suivante : \dfrac{a \div k}{b \div k} = \dfrac{(a \div k) \times k}{(b \div k) \times k}.

Or (a \div k) \times k = \dfrac{a}{k} \times k = a et (b \div k) \times k = \dfrac{b}{k} \times k = b.

Donc \dfrac{a \div k}{b \div k} = \dfrac{a}{b}.

 

III – Fraction et proportion

Définition
Un quotient, dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers (nombres sans virgule), est appelée fraction.

Exemple : \dfrac{2,13}{7} est un quotient. \dfrac{2}{7} est une fraction.

Il faut savoir passer d’une fraction à un nombre décimal et vis-versa.

Exemples :

  • 3,14 = 3 + 0,1 + 0,04 = 3 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{100}
  • 2,5 + \dfrac{23}{100} + \dfrac{7}{5} = 2,5 + 0,23 + 1,4 = 4,13

Remarque : Une fraction représente aussi une proportion, une partie d’un tout. Nous découpons une tarte pour en manger une partie (en bleu ci-dessous). La fraction représente la partie colorée.

Une demi-tarte : \dfrac{1}{2} Un tiers de tarte : \dfrac{1}{3} Un quart de tarte : \dfrac{1}{4} Deux cinquièmes de tarte : \dfrac{2}{5}

Exemple : Dans un groupe de 11 personnes, 4 portent des lunettes. La proportion de porteurs de lunettes au sein de ce groupe sera donnée par la fraction : \dfrac{4}{11}

IV – Simplification de fraction

Définition
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits.

Une fraction que l’on ne peut plus simplifier est dite irréductible.

Méthode
Pour simplifier une fraction, on effectue les trois étapes suivantes :

  • On décompose le numérateur en facteurs premiers ;
  • On décompose le dénominateur en facteurs premiers ;
  • On utilise la propriété des quotients égaux : \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}

Exemple : On va simplifier la fraction \dfrac{48}{60}

  • On décompose le numérateur en facteurs premiers : 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3
  • On décompose le dénominateur en facteurs premiers : 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5
  • On utilise la propriété des quotients égaux : \dfrac{48}{60} = \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}{2 \times 2 \times 3 \times 5} = \dfrac{4}{5}

\dfrac{4}{5} n’est plus simplifiable, elle est donc irréductible. C’est la fraction la plus simple égale à \dfrac{48}{60}.

Application à la division : On veut connaître le résultat de la division de 9 par 0,4 sans avoir à poser cette division.

    \[ 9 \div 0,4 = \dfrac{9}{0,4} = \dfrac{9 \times 10}{0,4 \times 10} = \dfrac{90}{4} = \dfrac{90 \div 2}{4 \div 2} = \dfrac{45}{2} = 22,5 $\]

V – Fractions décimales

Définition
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1 ou 10 ou 100 ou 1000 ou…

Exemple : \dfrac{213}{10} est une fraction décimale.

Propriété
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale et toute fraction décimale est un nombre décimal.

Exemple : 21,3 = \dfrac{21,3}{1} = \dfrac{21,3 \times 10}{1 \times 10} = \dfrac{213}{10}.

VI – Pourcentage

Définition
Une fraction décimale dont le dénominateur est 100 s’appelle un pourcentage.

Les pourcentages sont très utiles pour exprimer des proportions, des augmentations ou des diminutions. On les rencontre partout : pourcentage de globules blancs dans le sang, sondages d’opinion, pourcentage de chômage, pourcentage de gaz carbonique dans l’atmosphère, pourcentage de services gagnants au tennis,… Vous en aurez souvent besoin.

1) Calcul d’un pourcentage

Exemple : Une ville compte 25 000 électeurs. Le vainqueur des dernières élections municipales a obtenu 13 500 voix. Quel est le pourcentage des électeurs de cette ville qui ont voté pour ce candidat ?

La proportion recherchée est : \dfrac{13\:500}{25\:000} = \dfrac{13,5 \times 1000}{25 \times 1000} = \dfrac{13,5}{25} = \dfrac{13,5 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{54}{100}. Conclusion : 54% des habitants de cette ville ont voté pour le gagnant.

2) Calcul à partir d’un pourcentage

Règle
Calculer x \% d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par \dfrac{x}{100}.

Exemple : 36 % des 425 élèves d’un collège sont externes. Combien y a-t-il d’élèves externes ?

Pour calculer le nombre d’externes, on calcule 36 % de 425 : \dfrac{36}{100} \times 425 = \dfrac{36 \times 425}{100} = \dfrac{15 \: 300}{100} = 135. Il y a donc 153 élèves externes dans ce collège.

3) Pourcentages particuliers

Prendre 10 % d’un nombre, c’est en prendre le dixième. Car \dfrac{10}{100} = \dfrac{10 \times 1}{10 \times 10} = \dfrac{1}{10}.

Prendre 50 % d’un nombre, c’est en prendre la moitié. Car \dfrac{50}{100} = \dfrac{50 \times 1}{50 \times 2} = \dfrac{1}{2}.

Prendre 25 % d’un nombre, c’est en prendre le quart. Car \dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \times 1}{25 \times 4} = \dfrac{1}{4}.

Prendre 75 % d’un nombre, c’est en prendre les trois quarts. Car \dfrac{75}{100} = \dfrac{25 \times 3}{25 \times 4} = \dfrac{3}{4}.

Prendre 100 % d’un nombre, c’est en prendre la totalité. Car \dfrac{100}{100} = 1.

VII – Comparaison de fractions

Propriété
  • Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1
  • Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont égaux, la fraction est égale à 1.
  • Si le numérateur est plus plus que le dénominateur, la fractionnent est inférieure  à 1[/su_box]

    • Explication :

    • Si on divise un nombre par un nombre plus petit que lui, le quotient sera plus grand que 1.
    • Si on divise un nombre par lui-même, le quotient vaut 1 car a \times 1 = a.
    • Si on divise un nombre par un nombre plus grand que lui, le quotient sera plus petit que 1.

    Exemples :

    • \dfrac{6}{5} = 1,2 et on sait que 1,2 > 1
    • \dfrac{5}{5} = 1
    • \dfrac{4}{5} = 0,8 et on sait que 0,8 < 1
    Propriété
    Si deux fractions ont le même dénominateur, celle qui a le plus grand numérateur, est la fraction la plus grande.

    Exemple : Si deux personnes partagent une tarte en 6 parts égales et que l’une d’entre elles mange 4 parts, il en restera 2 pour l’autre personnes. La première personne aura mangé \dfrac{4}{6} de la tarte et l’autre personne mangera que \dfrac{2}{6} de le tarte.

    On devine facilement qui en a eu le plus : \dfrac{2}{6} < \dfrac{4}{6}

    Propriété
    Si deux fractions ont le même numérateur, celle qui a le plus petit dénominateur, est la fraction la plus grande.

    Exemple :

    • À gauche, une tarte est divisée en cinq parts égales. Les parts oranges représentent \dfrac{3}{5} de la tarte entière.
    • À droite, La même tarte est divisée en sept parts égales. Les parts oranges représentent \dfrac{3}{7} de la tarte entière.
    • On comprend bien que \dfrac{3}{7} < \dfrac{3}{5}
    Autre méthode de comparaison
    Si on n’est dans aucun des deux cas précédents, il faut utiliser la propriété des quotients égaux pour transformer l’une des fractions ou les deux afin de se retrouver dans l’un des deux cas précédents.

    Exemple : Nous voulons comparer \dfrac{2}{5} et \dfrac{3}{7}.

    La comparaison graphique ne permet pas d’être certain de la réponse.

    \dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 7} = \dfrac{14}{35} et \dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{15}{35}

    Puis que \dfrac{14}{35} < \dfrac{15}{35}, on en conclut que \dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{7}

    VIII – Décomposition d’une fraction supérieure à 1

    Exemple : J’organise une fête. Nous nous retrouvons à 11 personnes. Chacune mange un quart de pizza. Cela fait 11 quarts de pizza à acheter.

    Comme 11 = 2 \times 4 + 3, le commerçant me vend 3 pizzas entières et 3 parts de pizza. Car 11 quarts de pizza sont équivalents à 2 pizzas entières + 3 quarts de pizza.

    En langage mathématique, cela s’écrit : \dfrac{11}{4} = 2 + \dfrac{3}{4}. On a ainsi décomposé une fraction supérieure à 1 en une somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1.

    La méthode de décomposition d’une fraction \dfrac{a}{b} supérieure à 1 est la suivante :

    1. On fait la division euclidienne du numérateur a par le dénominateur b : a = b \times q + r, où q est le quotient et r le reste inférieur à q.
    2. On écrit que \dfrac{a}{b} = q + \dfrac{r}{b}

    Exemple : On va décomposer la fraction \dfrac{23}{6}. La division euclidienne de 23 par 6 donne : 23 = 3 \times 6 + 5. Ce qui donne la décomposition : \dfrac{23}{6} = 3 + \dfrac{5}{6}

    Utilisation de la décomposition : comparaison d’un nombre avec une fraction

    On veut comparer \dfrac{23}{6} et 4. On a vu précédemment que \dfrac{23}{6} = 3 + \dfrac{5}{6}. La question est de comparer 3 + \dfrac{5}{6} et 4.

    On sait d’une part que 4 = 3 + 1 et que \dfrac{5}{6} < 1. Donc nécessairement \dfrac{23}{6} < 4.

    IX – Somme et soustraction de fractions

    1) Somme et soustraction de deux fractions ayant le même dénominateur

    Exemple : La figure de droite nous montre que \dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}.

    On comprend aussi le résultat suivant : \dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{2}{7}.

     

    Propriété
    Étant donnés trois entiers naturels a, b, c , c \ne 0,

        \[ \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c} \qquad \qquad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c} \]

    2) Somme et soustraction de fractions dont le dénominateur de l’une est le multiple du dénominateur de l’autre

    Exemple : On veut faire la somme de \dfrac{2}{3} et de \dfrac{7}{6}. Les dénominateurs étant différents, on ne peut pas utiliser la propriété précédente.

    Par contre, on remarque que le dénominateur de \dfrac{7}{6} est le double de celui de \dfrac{2}{3}. Mais : \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}.

    Donc \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{11}{6}

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