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Information chiffrée

I. PROPORTIONNALITÉ (RAPPELS)

1) Définition :

Deux séries de nombres sont proportionnelles quand on peut passer de la première à la seconde en multipliant la première par une constante non nulle.

Exemple :

Temps (h) 2 5
Distance (km) 160 400

On passe de la ligne des temps à la ligne des distances en multipliant la première par 80.

2 \times 80 = 160 et 5 \times 80 = 400. Dans ce cas la distance parcourue est proportionnelle à la durée du déplacement. Une autre façon d’exprimer la même chose : la vitesse moyenne de la voiture est de 80 km/h.

2) Propriété :

Soient quatre nombres réels quelconques a, b, c et d. Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité si et seulement si a \times d = c\times b.

a b
c d

3) Quatrième proportionnelle :

Si on connait trois des quatre nombres d’un tableau de proportionnalité, on peut toujours calculer le quatrième nombre :

a b
c x

x = \dfrac{b \times c}{a}

II. PROPORTIONS ET POURCENTAGES

1) Définition :

On considère un ensemble E de N éléments et un sous-ensemble A de E de n éléments. La proportion de A par rapport à E est p = \dfrac{n}{N}.

2) Proportion exprimée en pourcentage :

On considère un ensemble E de N éléments et un sous-ensemble A de E de n éléments. On note p, la proportion de A par rapport à E. Cette proportion exprimée en pourcentage est t = \dfrac{100 \times n}{N} = 100 \times p.

3) Proportion de proportion :

Définition : On considère un ensemble E, un sous-ensemble A de E et un sous-ensemble B de A.

La proportion de A par rapport à E est p_A. La proportion de B par rapport à E est p_B.

La proportion des éléments de B dans E est p_A \times p_B.

Démonstration :

Soient N, n_A et n_B les nombres d’éléments respectifs de E, A et B.

Par définition : La proportion de A par rapport à E est p_A = \dfrac{n_A}{N} et la proportion de B par rapport à A est p_B = \dfrac{n_B}{n_A}. Enfin la proportion de B par rapport à E est p=\dfrac{n_B}{N} = \dfrac{n_B}{n_A} \times \dfrac{n_A}{N} = p_A \times p_B.

Conséquence :

Si A représente t_A\% de E et B représente t_B\% de A alors B représente t\% de E tel que \dfrac{t}{100} = \dfrac{t_A}{100} \times \dfrac{t_B}{100}.

Exemple : Dans un lycée de 800 élèves, 25 % des élèves sont en Seconde et 45 % des élèves de Seconde sont des filles. La part des filles de Seconde dans le lycée est de \dfrac{25}{100} \times \dfrac{45}{100} = \dfrac{1.125}{10.000} = 11,25\%.

III. POURCENTAGES D’ÉVOLUTION

On considère une quantité passant d’une valeur V_0 à une valeur V_1.

1) Coefficient multiplicateur :

Définition : Le coefficient multiplicateur CM est le nombre par lequel il faut multiplier V_0 pour obtenir V_1. C’est à dire : V_1 = CM \times V_0.

On a donc : CM = \dfrac{V_1}{V_0}.

Exemple n°1 : Si, sur une période de temps donnée, le nombre d’habitants d’une ville passe de 12.000 à 15.000, alors le coefficient multiplicateur sera : \dfrac{15000}{12000} = \dfrac{5}{4} =1,25. Autrement dit, partant de 12.000, on arrive à 15.000 en multipliant 12.000 par 1,25.

Exemple n°2 : Si, sur une période de temps donnée, le nombre d’habitants d’une ville passe de 15.000 à 12.000, alors le coefficient multiplicateur sera : \dfrac{12000}{15000} = \dfrac{4}{5} =0,8. Autrement dit, partant de 15.000, on arrive à 12.000 en multipliant 15.000 par 0,8.

Conséquence : Le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 dans le cas d’une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d’une diminution.

2) Taux d’évolution :

La variation absolue entre V_0 et V_1 est : V_1 - V_0.

La variation relative ou le taux d’évolution entre V_0 et V_1 est : \dfrac{V_1 - V_0}{V_0}.

Le taux d’évolution exprimé en pourcentage est : 100 \times \dfrac{V_1 - V_0}{V_0}.

Le taux d’évolution est positif dans le cas d’une augmentation et négatif dans le cas d’une diminution.

Exemple : Le prix d’un article passe de 80€ à 76€. Le taux d’évolution est : 100 \times \dfrac{76 - 80}{80} = -5\%.

Le coefficient multiplicateur est : \dfrac{76}{80} = 0,95.

3) Propriété :

Si t est le taux d’évolution de V_0 vers V_1 alors V_1 = (1 + t)V_0.

Démonstration : t = \dfrac{V_1 - V_0}{V_0} \implies t V_0 = V_1 - V_0 \implies V_1 = t V_0 + V_0 = (1 + t) V_0.

Remarque : Si t est exprimé en pourcentage, l’égalité s’écrit : V_1 = (1 + \dfrac{t}{100})V_0.

4) Propriété :

Le taux d’évolution t et le coefficient multiplicateur CM sont reliés par la relation : CM = 1 + t.

Démonstration : t = \dfrac{V_1 - V_0}{V_0} = \dfrac{V_1}{V_0} - \dfrac{V_0}{V_0} = CM - 1. Donc CM = 1 + t.

Remarque : Si t est exprimé en pourcentage, l’égalité s’écrit : CM = 1 + \dfrac{t}{100}.

5) Méthodes :

  • Pour obtenir t\% de x, on multiplie x par \dfrac{t}{100}.
  • Pour augmenter x de t\%, on multiplie x par 1 + \dfrac{t}{100}.
  • Pour diminuer x de t\%, on multiplie x par 1 - \dfrac{t}{100}.

6) Propriété des évolutions successives :

Lors d’évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Démonstration pour deux évolutions :

Première évolution : V_1 = CM_1 \times V_0

Deuxième évolution : V_2 = CM_2 \times V_1 = CM_2 \times (CM_1 \times V_0) = (CM_1 \times CM_2) \times V_0.

Remarque importante : Si t_1 et t_2 sont les taux d’évolution alors CM_1 = t_1+1 et CM_2 = t_2+1.

Le coefficient multiplicateur global est donc CM =  (1 + t_1)(1 + t_2) = 1  + t_1 + t_2 + t_1t_2.

Soit t le taux d’évolution global. Alors t = CM - 1 = (1  + t_1 + t_2 + t_1t_2) - 1 = t_1 + t_2 + t_1t_22.

Si les taux d’évolution sont exprimés en pourcentages, cela donne : \dfrac{t}{100} = \dfrac{t_1}{100} + \dfrac{t_2}{100} + \dfrac{t_1t_2}{10.000}, soit après multiplication par 100 : t = t_1 + t_2 + \dfrac{t_1t_2}{100}.

Cela illustre l’erreur souvent faite qui consiste à croire que le pourcentage global est la somme des deux pourcentages de deux évolutions successives. En faisant ainsi on oublie  le terme \dfrac{t_1t_2}{100}.

Exemple : Le prix d’un objet augmente de 10% puis diminue de 10%.

Donc t_1 = 10 et t_2 = -10

Soit t le taux d’évolution global. t = t_1 + t_2 + \dfrac{t_1t_2}{100} = 10 - 10 + \dfrac{10 \times (-10)}{100} = -1 \%. Le prix de l’objet a globalement diminué de 1%.

Une hausse de t % ne « compense » pas une baisse de t %. C’est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant. En cas d’évolution successives, les pourcentages d’évolutions ne s’ajoutent (ni ne soustraient) jamais.

IV. ÉVOLUTION RÉCIPROQUE

1)  Définition :

On considère une évolution faisant passer une quantité de la valeur V_0 à la valeur V_1. Son évolution réciproque est celle qui fait passer la quantité de la valeur V_1 à la valeur V_0.

2) Propriété :

Soit CM le coefficient multiplication d’une évolution et soit CM' le coefficient multiplication de son évolution réciproque. Alors CM' = \dfrac{1}{CM}. Ou ce qui revient au même : CM \times CM' = 1.

Démonstration : Par hypothèse V_1 = CM \times V_0 et V_0 = CM' \times V_1.

Donc V_0 = CM' \times (CM \times V_0). En simplifiant par V_0, il reste CM' \times CM = 1, soit CM' = \dfrac{1}{CM}.

Conséquence : Soit t et t' les taux d’évolution correspondant à une évolution et à sa réciproque. De l’égalité CM \times CM' = 1, il vient (1 + t)(1 + t') = 1.

Avec des taux exprimés en pourcentage, l’égalité devient : (1 + \dfrac{t}{100})(1 + \dfrac{t'}{100}) = 1.

Exemple : Le prix d’un article augmente de 60%. Quelle baisse faut-il appliquer pour qu’il revienne à son prix de départ ?

On pose t = 60 et t' le taux de baisse recherché.

On a donc (1 + \dfrac{60}{100})(1 + \dfrac{t'}{100}) = 1. Ce qui donne 1,6 \times (1 + \dfrac{t'}{100}) = 1, soit 1 + \dfrac{t'}{100} = \dfrac{1}{1,6} = 0,625. Donc \dfrac{t'}{100} = 0,625 - 1 = -0,375. On obtient t' = - 37,5 \%.

Il faut donc que le prix diminue de 37,5% pour compenser la hausse de 60%.

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