I – Proportionnalités (rappels)

Définition

Deux séries de nombres sont proportionnelles quand on peut passer de la première à la seconde en multipliant la première par une constante non nulle.

Exemple : On passe de la ligne des temps à la ligne des distances en multipliant la première par 80.

$2 \times 80 = 160$ et $5 \times 80 = 400$ . Dans ce cas la distance parcourue est proportionnelle à la durée du déplacement. Une autre façon d’exprimer la même chose : la vitesse moyenne de la voiture est de 80 km/h.

Propriété

Soient quatre nombres réels quelconques $a, b, c$ et $d$ .

Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité si et seulement si $a \times d = c\times b$ .

Propriété : quatrième proportionnelle

Si on connait trois des quatre nombres d’un tableau de proportionnalité,

on peut toujours calculer le quatrième nombre : $x = \dfrac{b \times c}{a}$

II – Proportions et pourcentages

Définitions

On considère un ensemble $E$ de $N$ éléments et un sous-ensemble $A$ de $E$ de $n$ éléments.

La proportion de $A$ par rapport à $E$ est $p = \dfrac{n}{N}$ .

Cette proportion exprimée en pourcentage est $t = \dfrac{100 \times n}{N} = 100 \times p$ .

Propriété : proportion de proportion

On considère un ensemble $E$ , un sous-ensemble $A$ de $E$ et un sous-ensemble $B$ de $A$ .

Si la proportion de $A$ par rapport à $E$ est $p_A$ et la proportion de $B$ par rapport à $A$ est $p_B$ ,

alors la proportion des éléments de $B$ dans $E$ est $p_A \times p_B$ .

Démonstration :

Soient $N, n_A$ et $n_B$ les nombres d’éléments respectifs de $E, A$ et $B$ .

Par définition, la proportion de $A$ par rapport à $E$ est $p_A = \dfrac{n_A}{N}$ et la proportion de $B$ par rapport à $A$ est $p_B = \dfrac{n_B}{n_A}$ .

Donc la proportion de $B$ par rapport à $E$ est $p=\dfrac{n_B}{N} = \dfrac{n_B}{N} \times \dfrac{n_A}{n_A} = \dfrac{n_B}{n_A} \times \dfrac{n_A}{N} = p_A \times p_B$ .

Propriété : proportion de proportion

Si $A$ représente $t_A\%$ de $E$ et $B$ représente $t_B\%$ de $A$ alors $B$ représente $t\%$ de $E$ tel que $\dfrac{t}{100} = \dfrac{t_A}{100} \times \dfrac{t_B}{100}$ .

On sait que $t = 100p$ , $t_A = 100p_A$ et $t_B = 100p_B$ . Donc $p = \dfrac{t}{100}$ , $p_A = \dfrac{t_A}{100}$ et $p_A = \dfrac{t_B}{100}$

En injectant ces résultats dans la formule $p = p_A \times p_B$ , il vient $\dfrac{t}{100} = \dfrac{t_A}{100} \times \dfrac{t_B}{100}$ .

Exemple : Dans un lycée de 800 élèves, 25 % des élèves sont en Seconde et 45 % des élèves de Seconde sont des filles. La part des filles de Seconde dans le lycée est de $\dfrac{25}{100} \times \dfrac{45}{100} = \dfrac{1125}{10000} = 11,25\%$ .

III – Pourcentages d’évolution

On considère une quantité passant d’une valeur $V_0$ à une valeur $V_1$ .

Définition : coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur $CM$ est le nombre par lequel il faut multiplier $V_0$ pour obtenir $V_1$ . C’est à dire : $V_1 = CM \times V_0$ .

On a donc : $CM = \dfrac{V_1}{V_0}$ .

Exemple n°1 : Si, sur une période de temps donnée, le nombre d’habitants d’une ville passe de 12000 à 15000, alors le coefficient multiplicateur sera : $\dfrac{15000}{12000} = \dfrac{5}{4} =1,25$ . Autrement dit, partant de 12000, on arrive à 15000 en multipliant 12000 par 1,25.

Exemple n°2 : Si, sur une période de temps donnée, le nombre d’habitants d’une ville passe de 15000 à 12000, alors le coefficient multiplicateur sera : $\dfrac{12000}{15000} = \dfrac{4}{5} =0,8$ . Autrement dit, partant de 15000, on arrive à 12000 en multipliant 15000 par 0,8.

Propriété

Le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 dans le cas d’une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d’une diminution.

Démonstration : S’il y a une augmentation, alors $V_1 > V_0$ donc $\dfrac{V_1}{V_0} > \dfrac{V_0}{V_0}$ . C’est-à-dire que $CM > 1$ .

Démonstration similaire dans le cas d’une diminution.

Définition : Taux d'évolution

La variation absolue entre $V_0$ et $V_1$ est : $V_1 - V_0$ .
La variation relative ou le taux d’évolution entre $V_0$ et $V_1$ est : $\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$ .
Le taux d’évolution exprimé en pourcentage est : $100 \times \dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$ .

Propriété

Le taux d’évolution est positif dans le cas d’une augmentation et négatif dans le cas d’une diminution.

Démonstration : S’il y a augmentation alors nous savons que $CM > 1$ , c’est-à-dire que $\dfrac{V_1}{V_0} > 1$ donc $\dfrac{V_1}{V_0} - 1 > 0$ , soit $\dfrac{V_1}{V_0} - \dfrac{V_0}{V_0} > 0$ . Ce qui aboutit à $\dfrac{V_1 - V_0}{V_0} > 1$ .

Démonstration similaire dans le cas d’une diminution.

Exemple : Le prix d’un article passe de 80€ à 76€. Le taux d’évolution est : $100 \times \dfrac{76 - 80}{80} = -5\%$ .

Le coefficient multiplicateur est : $\dfrac{76}{80} = 0,95$ .

Propriété

Si $t$ est le taux d’évolution de $V_0$ vers $V_1$ alors $V_1 = (1 + t)V_0$ .

Si $t$ est exprimé en pourcentage, l’égalité s’écrit : $V_1 = (1 + \dfrac{t}{100})V_0$ .

Démonstration : $t = \dfrac{V_1 - V_0}{V_0} \implies t V_0 = V_1 - V_0 \implies V_1 = t V_0 + V_0 = (1 + t) V_0$ .

Propriété

Le taux d’évolution $t$ et le coefficient multiplicateur $CM$ sont reliés par la relation : $CM = 1 + t$ .

Si $t$ est exprimé en pourcentage, l’égalité s’écrit : $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$ .

Démonstration : $t = \dfrac{V_1 - V_0}{V_0} = \dfrac{V_1}{V_0} - \dfrac{V_0}{V_0} = CM - 1$ . Donc $CM = 1 + t$ .

Méthodes

Pour obtenir $t\%$ de $x$ , on multiplie $x$ par $\dfrac{t}{100}$ .
Pour augmenter $x$ de $t\%$ , on multiplie $x$ par $1 + \dfrac{t}{100}$ .
Pour diminuer $x$ de $t\%$ , on multiplie $x$ par $1 - \dfrac{t}{100}$ .

Propriété des évolutions successives

Lors d’évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Démonstration pour deux évolutions :

Première évolution : $V_1 = CM_1 \times V_0$

Deuxième évolution : $V_2 = CM_2 \times V_1 = CM_2 \times (CM_1 \times V_0) = (CM_1 \times CM_2) \times V_0$ .

Remarque importante : Si $t_1$ et $t_2$ sont les taux d’évolution alors $CM_1 = t_1+1$ et $CM_2 = t_2+1$ .

Le coefficient multiplicateur global est donc $CM = (1 + t_1)(1 + t_2) = 1 + t_1 + t_2 + t_1t_2$ .

Soit t le taux d’évolution global. Alors $t = CM - 1 = (1 + t_1 + t_2 + t_1t_2) - 1 = t_1 + t_2 + t_1t_22$ .

Si les taux d’évolution sont exprimés en pourcentages, cela donne : $\dfrac{t}{100} = \dfrac{t_1}{100} + \dfrac{t_2}{100} + \dfrac{t_1t_2}{10.000}$ , soit après multiplication par 100 : $t = t_1 + t_2 + \dfrac{t_1t_2}{100}$ .

ATTENTION : Cela illustre l’erreur souvent faite qui consiste à croire que le pourcentage global est la somme des deux pourcentages de deux évolutions successives. En faisant ainsi on oublie le terme $\dfrac{t_1t_2}{100}$ .

Exemple : Le prix d’un objet augmente de 10% puis diminue de 10%.

Donc $t_1 = 10$ et $t_2 = -10$

Soit $t$ le taux d’évolution global. $t = t_1 + t_2 + \dfrac{t_1t_2}{100} = 10 - 10 + \dfrac{10 \times (-10)}{100} = -1 \%$ . Le prix de l’objet a globalement diminué de 1%.

Une hausse de t % ne « compense » pas une baisse de t %. C’est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant. En cas d’évolution successives, les pourcentages d’évolutions ne s’ajoutent (ni ne soustraient) jamais.

IV – Évolution réciproque

Définition

On considère une évolution faisant passer une quantité de la valeur $V_0$ à la valeur $V_1$ . Son évolution réciproque est celle qui fait passer la quantité de la valeur $V_1$ à la valeur $V_0$ .

Propriété

Soit $CM$ le coefficient multiplication d’une évolution et soit $CM'$ le coefficient multiplication de son évolution réciproque. Alors $CM' = \dfrac{1}{CM}$ . Ou ce qui revient au même : $CM \times CM' = 1$ .

Démonstration : Par hypothèse $V_1 = CM \times V_0$ et $V_0 = CM' \times V_1$ .

Donc $V_0 = CM' \times (CM \times V_0)$ . En simplifiant par $V_0$ , il reste $CM' \times CM = 1$ , soit $CM' = \dfrac{1}{CM}$ .

Propriétés

Soit $t$ et $t'$ les taux d’évolution correspondant à une évolution et à sa réciproque. De l’égalité $CM \times CM' = 1$ , il vient $(1 + t)(1 + t') = 1$ .
Avec des taux exprimés en pourcentage, l’égalité devient : $(1 + \dfrac{t}{100})(1 + \dfrac{t'}{100}) = 1$ .

Démonstration : conséquences de la propriété précédente.

Exemple : Le prix d’un article augmente de 60%. Quelle baisse faut-il appliquer pour qu’il revienne à son prix de départ ?

On pose $t = 60$ et $t'$ le taux de baisse recherché.

On a donc $(1 + \dfrac{60}{100})(1 + \dfrac{t'}{100}) = 1$ . Ce qui donne $1,6 \times (1 + \dfrac{t'}{100}) = 1$ , soit $1 + \dfrac{t'}{100} = \dfrac{1}{1,6} = 0,625$ . Donc $\dfrac{t'}{100} = 0,625 - 1 = -0,375$ . On obtient $t' = - 37,5 \%$ .