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Inégalités et résolutions d’inéquations

I – Définitions et propriétés

Définition : inéquation
  • Une inéquation est constituée de deux expressions littérales séparées par un signe d’inégalité. Chaque expression s’appelle un membre de l’inéquation. Dans au moins une des expressions figure au moins une inconnue.
  • Deux inéquations équivalentes sont deux inéquations possédant les mêmes solutions.
  • Résoudre une inéquation consiste à trouver les valeurs de l’inconnue ou des inconnues pour lesquelles l’inéquation est vérifie. En pratique, cela revient à transformer progressivement l’ininéquation de départ en équations équivalentes de plus en plus simples.

Pour résoudre une inéquation, il faut connaitre les propriétés suivantes.

Propriété
Soient a et b deux nombres réels quelconques. a < b équivaut à b - a > 0.

Utilité de cette propriété : Pour comparer deux nombres ou deux expressions littérales, il est parfois plus facile d’étudier le signe de leur différence.

Démonstration :

1ère partie : on suppose que a < b et on cherche à démontrer que b > a

1er cas : a > 0. Comme b > a, alors nécessairement b > 0. L’expression b - a représente la soustraction de deux nombres positifs dont le premier est plus grand que le second. Le résultat est donc positif : b - a > 0

2ème cas : a < 0. Alors -a > 0. Donc b - a = b + (-a). L’expression b - a représente la somme de deux nombres positifs. Le résultat est donc positif : b - a > 0.

3ème cas : a = 0. Évident.

Conclusion : dans tous les cas, si a < b alors b  -a > 0.

2ème partie (réciproque) : On suppose à présent que b - a > 0 et on cherche à démontrer que b > a.

Raisonnons par l’absurde en supposant l’inverse de ce que l’on veut démontrer. L’inverse de b > a est b \le a.

1er cas : b = a impossible car alors b-a = 0 alors que nous avons supposé que b - a > 0.

2ème cas : b < a. Alors d’après la première partie de la démonstration, on peut en déduire que a - b > 0. Encore impossible car nous avons supposé que b - a > 0.

En résumé, on voir que la supposition b \le a conduit à chaque fois à une contradiction. Cela signifie que cette supposition est fausse, donc que son contraire est vrai. Conclusion : si b - a > 0 alors a < b.

Propriété
On ne change pas le sens d’une inégalité en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de cette inégalité.

Autrement dit : soient a, b, c trois nombres réels quelconques. Si a < b alors a + c < b + c et a - c < b - c.

Démonstration : supposons que a < b et démontrons alors que a + c < b + c

D’après la propriété précédente, pour démontrer que a + c < b + c, on peut tout aussi bien démontrer que (b + c) - (a + c) > 0.

Or : (b + c) - (a + c) = b + c - a - c = b - a. Par hypothèse b - a > 0 donc (b + c) - (a + c) > 0.

On démontre de façon similaire que si Si a < b alors a - c < b - c.

Propriété
On ne change pas le sens d’une inégalité en multipliant ou en divisant par un même nombre POSITIF les deux membres de cette inégalité.

Autrement dit : soient a, b deux nombres réels quelconques et c un nombre réel strictement positif quelconque. Si a < b alors ac < bc et \dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}.

Démonstration : on suppose que a < b et que c > 0. On veut démontrer que ac < bc.

D’après la première propriété, pour démontrer que ac < bc, on peut tout aussi bien démontrer que bc - ac > 0.

Or bc - ac = (b-a)c. Par hypothèse a < b donc b - a > 0. De plus, nous avons supposé que c > 0. Donc (b-a)c est le produit de deux expressions positives. Par conséquent (b-a)c > 0.

Pour démontrer l’autre propriété : si a < b alors \dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}, il suffit simplement de constater que \dfrac{a}{c} = a \times \dfrac{1}{c} et que \dfrac{b}{c} = b \times \dfrac{1}{c}. On retombe alors sur la propriété précédente.

Propriété
Si on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre NÉGATIF, on change le sens de cette inégalité.

Autrement dit : soient a, b deux nombres réels quelconques et c un nombre réel strictement négatif quelconque. Si a < b alors ac > bc et \dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}.

Exemple : 2 < 3 mais 2 \times (-5) > 3 \times (-5) puisque -10 > -15.

Démonstration : on suppose que a < b et que c < 0. On veut démontrer que ac > bc.

D’après la première propriété, pour démontrer que ac > bc, on peut tout aussi bien démontrer que ac - bc > 0.

Or ac - bc = (a-b)c. Par hypothèse a < b donc b - a > 0 et par conséquent a - b < 0. De plus, nous avons supposé que c < 0. Donc (a-b)c est le produit de deux expressions négatives. Par conséquent (a-b)c > 0.

Pour démontrer l’autre propriété, on constate à nouveau que \dfrac{a}{c} = a \times \dfrac{1}{c} et que \dfrac{b}{c} = b \times \dfrac{1}{c}.

Propriété
Soient a, b, c, d quatre nombres réels quelconques Si a < b et c < d alors a + c < b +  d.

ATTENTION : cette propriété n’est pas vraie si on remplace les additions par d’autres opérations.

Exemple : 2 < 3 et -20 < -10, donc -20 + 2 < -10 + 3 car -18 < -7.

Démonstration : On suppose que a < b et c < d et on va démontrer que a + c < b +  d

D’après la première propriété, pour démontrer que a + c < b +  d, on peut tout aussi bien démontrer que (b + d) - (a + c) > 0.

Or (b + d) - (a + c) = b + d - a - c = (b - a) + (d - c). Nous avons supposé que a < b et c < d. Donc b - a > 0 et d - c > 0. Par conséquent (b - a) + (d - c) est la somme de deux expressions positives, elle donc positive.

II – Résolution des inéquation du premier degré

Méthode de résolution
Au lycée, il ne vous sera proposé que des inéquations du premier degré à une seule inconnue ou qui peuvent se ramener à cela : ax + b < cx + d.

  1. Prenez votre temps : OBSERVER l’inéquation.
  2. Résoudre une inéquation revient à trouver des inéquations équivalentes de plus en plus simples jusqu’à arriver à l’inéquation : x < \dots ou x \le \dots ou x > \dots ou x \ge \dots.
  3. En général, on commence par déplacer toutes expressions contenant l’inconnue dans le membre gauche de l’inéquation et les termes constants à droite. On obtient ainsi une inéquation équivalente du type : AX < B.
  4. Il suffit ensuite de diviser les deux membres de l’inéquation par A en faisant attention au signe de A.
  5. En général, une inéquation a une infinité de solutions réparties dans un ou plusieurs intervalles

Exemple : Résoudre 2x + 3 < 5x - 4

2x + 3 < 5x - 4

\iff 2x + 3 - 5x < -4

\iff -3x + 3 < -4

\iff -3x < -4 - 3

\iff -3x < -7

\iff x > \dfrac{-7}{-3}

\iff x > \dfrac{7}{3}

Conclusion : les solutions de l’équation 2x + 3 < 5x - 4 est l’intervalle \left ] \dfrac{7}{3} ; +\infty \right [