I – Définitions et propriétés

Définition : inéquation

Une inéquation est constituée de deux expressions littérales séparées par un signe d’inégalité. Chaque expression s’appelle un membre de l’inéquation. Dans au moins une des expressions figure au moins une inconnue.
Deux inéquations équivalentes sont deux inéquations possédant les mêmes solutions.
Résoudre une inéquation consiste à trouver les valeurs de l’inconnue ou des inconnues pour lesquelles l’inéquation est vérifiée. En pratique, cela revient à transformer progressivement l’inéquation de départ en inéquations équivalentes de plus en plus simples.

Pour résoudre une inéquation, il faut connaitre les propriétés suivantes.

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels quelconques. $a < b$ équivaut à $b - a > 0$ .

Utilité de cette propriété : Pour comparer deux nombres ou deux expressions littérales, il est parfois plus facile d’étudier le signe de leur différence.

Démonstration :

1^ère partie : on suppose que $a < b$ et on cherche à démontrer que $b > a$

1^er cas : $a > 0$ . Comme $b > a$ , alors nécessairement $b > 0$ . L’expression $b - a$ représente la soustraction de deux nombres positifs dont le premier est plus grand que le second. Le résultat est donc positif : $b - a > 0$

2^ème cas : $a < 0$ . Alors $-a > 0$ . Donc $b - a = b + (-a)$ . L’expression $b - a$ représente la somme de deux nombres positifs. Le résultat est donc positif : $b - a > 0$ .

3^ème cas : $a = 0$ . Évident.

Conclusion : dans tous les cas, si $a < b$ alors $b -a > 0$ .

2^ème partie (réciproque) : On suppose à présent que $b - a > 0$ et on cherche à démontrer que $b > a$ .

Raisonnons par l’absurde en supposant l’inverse de ce que l’on veut démontrer. L’inverse de $b > a$ est $b \le a$ .

1^er cas : $b = a$ impossible car alors $b-a = 0$ alors que nous avons supposé que $b - a > 0$ .

2^ème cas : $b < a$ . Alors d’après la première partie de la démonstration, on peut en déduire que $a - b > 0$ . Encore impossible car nous avons supposé que $b - a > 0$ .

En résumé, on voir que la supposition $b \le a$ conduit à chaque fois à une contradiction. Cela signifie que cette supposition est fausse, donc que son contraire est vrai. Conclusion : si $b - a > 0$ alors $a < b$ .

Propriété

On ne change pas le sens d’une inégalité en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de cette inégalité.

Autrement dit : soient $a, b, c$ trois nombres réels quelconques. Si $a < b$ alors $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$ .

Démonstration : supposons que $a < b$ et démontrons alors que $a + c < b + c$

D’après la propriété précédente, pour démontrer que $a + c < b + c$ , on peut tout aussi bien démontrer que $(b + c) - (a + c) > 0$ .

Or : $(b + c) - (a + c) = b + c - a - c = b - a$ . Par hypothèse $b - a > 0$ donc $(b + c) - (a + c) > 0$ .

On démontre de façon similaire que si Si $a < b$ alors $a - c < b - c$ .

Propriété

On ne change pas le sens d’une inégalité en multipliant ou en divisant par un même nombre POSITIF les deux membres de cette inégalité.

Autrement dit : soient $a, b$ deux nombres réels quelconques et $c$ un nombre réel strictement positif quelconque. Si $a < b$ alors $ac < bc$ et $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ .

Démonstration : on suppose que $a < b$ et que $c > 0$ . On veut démontrer que $ac < bc$ .

D’après la première propriété, pour démontrer que $ac < bc$ , on peut tout aussi bien démontrer que $bc - ac > 0$ .

Or $bc - ac = (b-a)c$ . Par hypothèse $a < b$ donc $b - a > 0$ . De plus, nous avons supposé que $c > 0$ . Donc $(b-a)c$ est le produit de deux expressions positives. Par conséquent $(b-a)c > 0$ .

Pour démontrer l’autre propriété : si $a < b$ alors $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ , il suffit simplement de constater que $\dfrac{a}{c} = a \times \dfrac{1}{c}$ et que $\dfrac{b}{c} = b \times \dfrac{1}{c}$ . On retombe alors sur la propriété précédente.

Propriété

Si on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre NÉGATIF, on change le sens de cette inégalité.

Autrement dit : soient $a, b$ deux nombres réels quelconques et $c$ un nombre réel strictement négatif quelconque. Si $a < b$ alors $ac > bc$ et $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ .

Exemple : $2 < 3$ mais $2 \times (-5) > 3 \times (-5)$ puisque $-10 > -15$ .

Démonstration : on suppose que $a < b$ et que $c < 0$ . On veut démontrer que $ac > bc$ .

D’après la première propriété, pour démontrer que $ac > bc$ , on peut tout aussi bien démontrer que $ac - bc > 0$ .

Or $ac - bc = (a-b)c$ . Par hypothèse $a < b$ donc $b - a > 0$ et par conséquent $a - b < 0$ . De plus, nous avons supposé que $c < 0$ . Donc $(a-b)c$ est le produit de deux expressions négatives. Par conséquent $(a-b)c > 0$ .

Pour démontrer l’autre propriété, on constate à nouveau que $\dfrac{a}{c} = a \times \dfrac{1}{c}$ et que $\dfrac{b}{c} = b \times \dfrac{1}{c}$ .

Propriété

Soient $a, b, c, d$ quatre nombres réels quelconques Si $a < b$ et $c < d$ alors $a + c < b + d$ .

ATTENTION : cette propriété n’est pas vraie si on remplace les additions par d’autres opérations.

Exemple : $2 < 3$ et $-20 < -10$ , donc $-20 + 2 < -10 + 3$ car $-18 < -7$ .

Démonstration : On suppose que $a < b$ et $c < d$ et on va démontrer que $a + c < b + d$

D’après la première propriété, pour démontrer que $a + c < b + d$ , on peut tout aussi bien démontrer que $(b + d) - (a + c) > 0$ .

Or $(b + d) - (a + c) = b + d - a - c = (b - a) + (d - c)$ . Nous avons supposé que $a < b$ et $c < d$ . Donc $b - a > 0$ et $d - c > 0$ . Par conséquent $(b - a) + (d - c)$ est la somme de deux expressions positives, elle donc positive.

II – Résolution des inéquation du premier degré

Méthode de résolution

Au lycée, il ne vous sera proposé que des inéquations du premier degré à une seule inconnue ou qui peuvent se ramener à cela : $ax + b < cx + d$ .

Prenez votre temps : OBSERVER l’inéquation.
Résoudre une inéquation revient à trouver des inéquations équivalentes de plus en plus simples jusqu’à arriver à l’inéquation : $x < \dots$ ou $x \le \dots$ ou $x > \dots$ ou $x \ge \dots$ .
En général, on commence par déplacer toutes expressions contenant l’inconnue dans le membre gauche de l’inéquation et les termes constants à droite. On obtient ainsi une inéquation équivalente du type : $AX < B$ .
Il suffit ensuite de diviser les deux membres de l’inéquation par A en faisant attention au signe de A.
En général, une inéquation a une infinité de solutions réparties dans un ou plusieurs intervalles

Exemple : Résoudre $2x + 3 < 5x - 4$

$2x + 3 < 5x - 4$

$\iff 2x + 3 - 5x < -4$

$\iff -3x + 3 < -4$

$\iff -3x < -4 - 3$

$\iff -3x < -7$

$\iff x > \dfrac{-7}{-3}$

$\iff x > \dfrac{7}{3}$

Conclusion : les solutions de l’équation $2x + 3 < 5x - 4$ est l’intervalle $\left ] \dfrac{7}{3} ; +\infty \right [$

III – Résolution graphique d’inéquations

1) Résolution de l’inéquation $f(x) < k$

Soient la fonction f définie sur l’intervalle $[a ; b]$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}_f$ et $k$ un réel quelconque. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x) < k$ sur $[a ; b]$ , c’est trouver les abscisses de tous les points de $\mathcal{C}_f$ dont l’ordonnée est strictement inférieure à $k$ .

Sur la figure de droite, on observe que l’ensemble des solutions de l’équation $f(x) < k$ est l’intervalle $]c ; d[$ , car pour tout $x \in ]c ; d[, f(x) < k$ . Autrement dit sur l’intervalle $]c ; d[$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ se situe en dessous de la droite horizontale des points d’ordonnée égale à $k$ .

Remarque : l’ensemble des solutions pour le cas ci-contre est l’intervalle ouvert $]c ; d[$ car l’inéquation à résoudre est $f(x) < k$ , c’est-à-dire que $f(x)$ doit être strictement inférieur à $k$ . Si l’inéquation avait été $f(x) \le k$ , l’ensemble des solutions aurait été l’intervalle fermé $[c ; d]$ .

2) Résolution de l’inéquation $f(x) \ge k$

Soient la fonction f définie sur l’intervalle $[a ; b]$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}_f$ et $k$ un réel quelconque. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x) \ge k$ sur $[a ; b]$ , c’est trouver les abscisses de tous les points de $\mathcal{C}_f$ dont l’ordonnée est supérieure ou égale à $k$ .

Sur la figure précédente, on observe que l’ensemble des solutions de l’équation $f(x) \ge k$ est la réunion des intervales $]-\infty ; c]$ et $[d ; +\infty[$ , car pour tout $x$ appartenant à l’un de ces deux intervalles, $f(x) \ge k$ . Autrement dit sur ces deux intervalles, la courbe $\mathcal{C}_f$ se situe au dessus de la droite horizontale des points d’ordonnée égale à $k$ .

Remarque : l’ensemble des solutions pour le cas ci-dessus sont les intervalles $]-\infty ; c]$ et $[d ; +\infty[$ , qui sont fermés des côtés de $c$ et $d$ car l’inéquation à résoudre est $f(x) \ge k$ , c’est à dire que $f(x)$ doit être supérieur ou égal à $k$ . Si l’inéquation avait été $f(x) > k$ , les intervalles auraient été ouverts des côtés de $c$ et $d$ .

3) Résolution de l’inéquation $f(x)<g(x)$

Soient deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $[a ; b]$ dont les courbes représentatives sont $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .

Résoudre l’inéquation $f(x)<g(x)$ , c’est trouver les abscisses de tous les points de $\mathcal{C}_f$ dont les ordonnées sont strictement inférieures à celles des points de $\mathcal{C}_g$ possédant la même abscisse.

Dans l’exemple ci-contre, on observe que la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$ sur l’intervalle $]c ; d[$ . Cet intervalle est la solution de l’inéquation.

Inégalités et résolutions d’inéquations

I – Définitions et propriétés

II – Résolution des inéquation du premier degré

III – Résolution graphique d’inéquations

1) Résolution de l’inéquation $f(x) < k$

2) Résolution de l’inéquation $f(x) \ge k$

3) Résolution de l’inéquation $f(x)<g(x)$

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