Le centre d’un groupe est le sous-groupe constitué des éléments commutant avec tous les éléments du groupe.
Sous-groupe engendré
Soit A une partie d’un groupe G. Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant A. On l’appelle sous-groupe engendré par A et on le note . Définition explicite :
.
Conjugaison et automorphisme intérieur d’un groupe :
Soit , l’application
sur G définie par
est un automorphisme intérieur de G. L’application de
de G dans Aut(G) qui à tout élément
de G fait correspondre l’automorphisme intérieur
est un morphisme de groupe dont le noyau est le centre de G et dont l’image est un sous-groupe distingué de Aut(G).
Éléments conjugués : Deux éléments d’un groupe G sont conjugués si l’un est l’image de l’autre par un automorphisme intérieur. La relation « être conjugué » est une relation d’équivalence dans G.
La conjugaison dans un groupe peut s’interpréter comme une action de ce groupe sur lui-même.
Sous-groupes conjugués : Deux sous-groupes sont conjugués si l’un est l’image de l’autre par un automorphisme intérieur.
Théorème de Cayley :
Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. Si G est un groupe fini d’ordre , il est isomorphe à un sous-groupe de
.
Théorème de Lagrange :
Si sous-groupe de
, alors
.
Si sous-groupe de
et
sous-groupe de
, alors
.
Sous-groupes distingués ou normaux
Un sous-groupe H d’un groupe G est un sous-groupe distingué, ou normal, s’il est stable par tout automorphisme intérieur, c’est-à-dire si . Autre définition :
ou
.
Le noyau d’un morphisme de groupe est un sous-groupe distingué. Dans un groupe abélien, tous les sous-groupes sont distingués. Le centre d’un groupe est un sous-groupe distingué.
Groupe quotient
Soit H un sous-groupe distingué de G. On définit une relation d’équivalence sur G : . G/H est le groupe quotient constitué des classes d’équivalences. La classe d’équivalence de
est
.
L’application p de G dans G/H qui à un élément fait correspondre sa classe d’équivalence
est un morphisme de groupe surjectif, appelé la surjection canonique de G/H.
Propriété universelle du quotient :
Soient H un sous-groupe distingué de G et un morphisme du groupe G vers le groupe G’. Si
, il existe un morphisme unique
de G/H vers G’ tel que
. De plus
et
.
Cas particulier : Si . Alors
est injectif et le morphisme de
vers
est un isomorphisme.
Groupe fini :
Tout sous-ensemble fini et stable d’un groupe est un sous-groupe.
On dit qu’un groupe est de type fini s’il admet une partie génératrice finie. L’ordre d’un groupe fini est son cardinal ou est égal à l’infini.
L’ordre d’un élément de d’un groupe fini est l’ordre du groupe engendré par cet élément. Si l’ordre de est
, cela signifie que
est le plus petit entier naturel tel que
.
Si alors
.
Propriété : Si H est un sous-groupe de G, de type fini et si G/H est aussi de type fini, alors G est de type fini.
Groupe monogène :
C’est groupe engendré par un seul élément. Un groupe monogène est isomorphe à s’il est infini ou à
s’il possède un nombre fini d’éléments.
Un groupe cyclique est un groupe monogène d’ordre fini. Si l’ordre de est
alors
.
Actions de groupe :
Une action (à gauche) d’un groupe G sur un ensemble E est une application G x E dans E qui à tout fait correspondre
, telle que
et
.
Soit et
le groupe des bijections sur E. L’application
sur E définie par
est une bijection. On définit le morphisme de groupes
de
dans
par
.
Soit G opérant sur E.
Orbite : On définit une relation d’équivalence sur E par . La classe d’équivalence d’un élément
est
, appelée Orbite de
. Une action de groupe ne possédant qu’une seule orbite est dénommée transitive.
Un sous-ensemble A de E est dit invariant ou stable pour l’action de G si et seulement si . Les orbites correspondent aux plus petits sous-ensembles non vides de E qui sont invariants pour l’action de G. Un sous-ensemble invariant est forcément une réunion d’orbites.
Stabilisateur : Le stabilisateur de est le sous-groupe de G défini par
. Le stabilisateur de
est un sous-groupe distingué de G.
Propriété : Soient le groupe opérant sur un ensemble
, et
:
-
- Il y a une bijection entre
et
- En particulier, si
est fini, alors son ordre est l’indice de
, c’est-à-dire l’ordre de
.
- Si
alors
et
sont conjugués.
- Si
et
sont finis, l’ordre de E est la somme des indices de tous ses stabilisateurs.
- Il y a une bijection entre