Groupes

Le centre d’un groupe est le sous-groupe constitué des éléments commutant avec tous les éléments du groupe.

Sous-groupe engendré

Soit A une partie d’un groupe G. Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant A. On l’appelle sous-groupe engendré par A et on le note $\langle A \rangle$ . Définition explicite : $\langle A \rangle = \lbrace a_1^{\pm1} a_2^{\pm1} \dots a_n^{\pm1}, (a_1, a_2, \dots a_n) \in A^n } \rbrace$ .

Conjugaison et automorphisme intérieur d’un groupe :

Soit $a \in G$ , l’application $c_a$ sur G définie par $c_a(x) = axa^{-1}, \forall x \in G$ est un automorphisme intérieur de G. L’application de $c$ de G dans Aut(G) qui à tout élément $a$ de G fait correspondre l’automorphisme intérieur $c_a$ est un morphisme de groupe dont le noyau est le centre de G et dont l’image est un sous-groupe distingué de Aut(G).

Éléments conjugués : Deux éléments d’un groupe G sont conjugués si l’un est l’image de l’autre par un automorphisme intérieur. La relation « être conjugué » est une relation d’équivalence dans G.

La conjugaison dans un groupe peut s’interpréter comme une action de ce groupe sur lui-même.

Sous-groupes conjugués : Deux sous-groupes sont conjugués si l’un est l’image de l’autre par un automorphisme intérieur.

Théorème de Cayley :

Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. Si G est un groupe fini d’ordre $n$ , il est isomorphe à un sous-groupe de $S_n$ .

Théorème de Lagrange :

Si $H$ sous-groupe de $G$ , alors $\vert G \vert = \vert G/H \vert \times \vert H \vert$ .

Si $H$ sous-groupe de $K$ et $K$ sous-groupe de $G$ , alors $\vert G/H \vert = \vert G/K \vert \times \vert K/H \vert$ .

Sous-groupes distingués ou normaux

Un sous-groupe H d’un groupe G est un sous-groupe distingué, ou normal, s’il est stable par tout automorphisme intérieur, c’est-à-dire si $\forall g \in G, \forall h \in H, ghg^{-1} \in H$ . Autre définition : $\forall g \in G, gH = Hg$ ou $\forall g \in G, gHg^{-1} = H$ .

Le noyau d’un morphisme de groupe est un sous-groupe distingué. Dans un groupe abélien, tous les sous-groupes sont distingués. Le centre d’un groupe est un sous-groupe distingué.

Groupe quotient

Soit H un sous-groupe distingué de G. On définit une relation d’équivalence sur G : $\forall (x,y) \in G^2, x \sim y \iff xy^{-1} \in H$ . G/H est le groupe quotient constitué des classes d’équivalences. La classe d’équivalence de $x$ est $\bar{x} = xH = Hx$ .

L’application p de G dans G/H qui à un élément $x$ fait correspondre sa classe d’équivalence $\bar{x}$ est un morphisme de groupe surjectif, appelé la surjection canonique de G/H.

Propriété universelle du quotient :

Soient H un sous-groupe distingué de G et $f$ un morphisme du groupe G vers le groupe G’. Si $H \subset Ker f$ , il existe un morphisme unique $g$ de G/H vers G’ tel que $f = g \circ p$ . De plus $Ker g = Ker f / H$ et $Im g = Im f$ .

Cas particulier : Si $H = Ker f$ . Alors $g$ est injectif et le morphisme de $G / Ker f$ vers $Im f$ est un isomorphisme.

Groupe fini :

Tout sous-ensemble fini et stable d’un groupe est un sous-groupe.

On dit qu’un groupe est de type fini s’il admet une partie génératrice finie. L’ordre d’un groupe fini est son cardinal ou est égal à l’infini.

L’ordre d’un élément de d’un groupe fini est l’ordre du groupe engendré par cet élément. Si l’ordre de $g \in G$ est $n$ , cela signifie que $n$ est le plus petit entier naturel tel que $g^n = 1$ .

Si $\vert G \vert = n$ alors $\forall x \in G, x^n=1$ .

Propriété : Si H est un sous-groupe de G, de type fini et si G/H est aussi de type fini, alors G est de type fini.

Groupe monogène :

C’est groupe engendré par un seul élément. Un groupe monogène est isomorphe à $\mathbb{Z}$ s’il est infini ou à $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ s’il possède un nombre fini d’éléments.

Un groupe cyclique est un groupe monogène d’ordre fini. Si l’ordre de $a$ est $n$ alors $\langle a \rangle = \lbrace 1, a, a^2, \dots, a^{n-1} \rbrace$ .

Actions de groupe :

Une action (à gauche) d’un groupe G sur un ensemble E est une application G x E dans E qui à tout $(g,x) \in G \times E$ fait correspondre $g.x$ , telle que $\forall x \in E, 1.x = x$ et $\forall (g_1,g_2) \in G^2, \forall x \in E, g_1.(g_2.x) = (g_1g_2).x$ .

Soit $g \in G$ et $S(E)$ le groupe des bijections sur E. L’application $\phi_g$ sur E définie par $\forall x \in E, \phi_g(x)=g.x$ est une bijection. On définit le morphisme de groupes $\Phi$ de $G$ dans $S(E)$ par $\forall g \in G, \Phi(g) = \phi_g$ .

Soit G opérant sur E.

Orbite : On définit une relation d’équivalence sur E par $x \sim y \iff \exists g \in G, y = g.x$ . La classe d’équivalence d’un élément $x \in E$ est $O_x = \lbrace g.x, g \in G \rbrace$ , appelée Orbite de $x$ . Une action de groupe ne possédant qu’une seule orbite est dénommée transitive.

Un sous-ensemble A de E est dit invariant ou stable pour l’action de G si et seulement si $\forall g \in G, g.A \subset A$ . Les orbites correspondent aux plus petits sous-ensembles non vides de E qui sont invariants pour l’action de G. Un sous-ensemble invariant est forcément une réunion d’orbites.

Stabilisateur : Le stabilisateur de $x$ est le sous-groupe de G défini par $G_x = \lbrace g \in G, g.x = x \rbrace$ . Le stabilisateur de $x$ est un sous-groupe distingué de G.

Propriété : Soient le groupe $G$ opérant sur un ensemble $E$ , et $x \in E$ :

- Il y a une bijection entre $O_x$ et $G/G_x$
- En particulier, si $O_x$ est fini, alors son ordre est l’indice de $G_x$ , c’est-à-dire l’ordre de $G/G_x$ .
- Si $O_x = O_y$ alors $G_x$ et $G_y$ sont conjugués.
- Si $G$ et $E$ sont finis, l’ordre de E est la somme des indices de tous ses stabilisateurs.