Groupes

Le centre d’un groupe est le sous-groupe constitué des éléments commutant avec tous les éléments du groupe.

Sous-groupe engendré

Soit A une partie d’un groupe G. Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant A. On l’appelle sous-groupe engendré par A et on le note \langle A \rangle. Définition explicite : \langle A \rangle = \lbrace a_1^{\pm1} a_2^{\pm1} \dots a_n^{\pm1}, (a_1, a_2, \dots a_n) \in A^n } \rbrace .

Conjugaison et automorphisme intérieur d’un groupe :

Soit a \in G, l’application c_a sur G définie par c_a(x) = axa^{-1}, \forall x \in G est un automorphisme intérieur de G. L’application de c de G dans Aut(G) qui à tout élément a de G fait correspondre l’automorphisme intérieur c_a est un morphisme de groupe dont le noyau est le centre de G et dont l’image est un sous-groupe distingué de Aut(G).

Éléments conjugués : Deux éléments d’un groupe G sont conjugués si l’un est l’image de l’autre par un automorphisme intérieur. La relation « être conjugué » est une relation d’équivalence dans G.

La conjugaison dans un groupe peut s’interpréter comme une action de ce groupe sur lui-même.

Sous-groupes conjugués : Deux sous-groupes sont conjugués si l’un est l’image de l’autre par un automorphisme intérieur.

Théorème de Cayley :

Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. Si G est un groupe fini d’ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de S_n.

Théorème de Lagrange :

Si H sous-groupe de G, alors \vert G \vert = \vert G/H \vert  \times \vert H \vert.

Si H sous-groupe de K et K sous-groupe de G, alors  \vert G/H \vert = \vert G/K \vert \times \vert K/H \vert.

Sous-groupes distingués ou normaux

Un sous-groupe H d’un groupe G est un sous-groupe distingué, ou normal, s’il est stable par tout automorphisme intérieur, c’est-à-dire si \forall g \in G, \forall h \in H, ghg^{-1} \in H. Autre définition : \forall g \in G, gH = Hg ou \forall g \in G, gHg^{-1} = H.

Le noyau d’un morphisme de groupe est un sous-groupe distingué. Dans un groupe abélien, tous les sous-groupes sont distingués. Le centre d’un groupe est un sous-groupe distingué.

Groupe quotient

Soit H un sous-groupe distingué de G. On définit une relation d’équivalence sur G : \forall (x,y) \in G^2, x \sim y \iff xy^{-1} \in H. G/H est le groupe quotient constitué des classes d’équivalences. La classe d’équivalence de x est \bar{x} = xH = Hx.

L’application p de G dans G/H qui à un élément x fait correspondre sa classe d’équivalence \bar{x} est un morphisme de groupe surjectif, appelé la surjection canonique de G/H.

Propriété universelle du quotient :

Soient H un sous-groupe distingué de G et f un morphisme du groupe G vers le groupe G’. Si H \subset Ker f, il existe un morphisme unique g de G/H vers G’ tel que f = g \circ p. De plus Ker g = Ker f / H et Im g = Im f.

Cas particulier : Si H = Ker f. Alors g est injectif et le morphisme de G / Ker f vers Im f est un isomorphisme.

Groupe fini :

On dit qu’un groupe est de type fini s’il admet une partie génératrice finie. L’ordre d’un groupe fini est son cardinal ou est égal à l’infini.

L’ordre d’un élément de d’un groupe fini est l’ordre du groupe engendré par cet élément. Si l’ordre de g \in G est n, cela signifie que n est le plus petit entier naturel tel que g^n = 1.

Si \vert G \vert = n alors \forall x \in G, x^n=1.

Propriété : Si H est un sous-groupe de G, de type fini et si G/H est aussi de type fini, alors G est de type fini.

Groupe monogène :

C’est groupe engendré par un seul élément. Un groupe monogène est isomorphe à \mathbb{Z} s’il est infini ou à \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} s’il possède un nombre fini d’éléments.

Un groupe cyclique est un groupe monogène d’ordre fini. Si l’ordre de a est n alors \langle a \rangle = \lbrace 1, a, a^2, \dots, a^{n-1} \rbrace.

Actions de groupe :

Une action (à gauche) d’un groupe G sur un ensemble E est une application G x E dans E qui à tout (g,x) \in G \times E fait correspondre g.x, telle que \forall x \in E, 1.x = x et \forall (g_1,g_2) \in G^2, \forall x \in E, g_1.(g_2.x) = (g_1g_2).x.

Soit g \in G et S(E) le groupe des bijections sur E. L’application \phi_g sur E définie par \forall x \in E, \phi_g(x)=g.x est une bijection. On définit le morphisme de groupes \Phi de G dans S(E) par \forall g \in G, \Phi(g) = \phi_g.

Soit G opérant sur E.

Orbite : On définit une relation d’équivalence sur E par x \sim y \iff \exists g \in G, y = g.x. La classe d’équivalence d’un élément x \in E est O_x = \lbrace g.x, g \in G \rbrace, appelée Orbite de x. Une action de groupe ne possédant qu’une seule orbite est dénommée transitive.

Un sous-ensemble A de E est dit invariant ou stable pour l’action de G si et seulement si \forall g \in G, g.A \subset A. Les orbites correspondent aux plus petits sous-ensembles non vides de E qui sont invariants pour l’action de G. Un sous-ensemble invariant est forcément une réunion d’orbites.

Stabilisateur : Le stabilisateur de x est le sous-groupe de G défini par G_x = \lbrace g \in G, g.x = x \rbrace. Le stabilisateur de x est un sous-groupe distingué de G.

Propriété : Soient le groupe G opérant sur un ensemble E, et x \in E :

    • Il y a une bijection entre O_x et G/G_x
    • En particulier, si O_x est fini, alors son ordre est l’indice de G_x, c’est-à-dire l’ordre de G/G_x.
    • Si O_x = O_y alors G_x et G_y sont conjugués.
    • Si G et E sont finis, l’ordre de E est la somme des indices de tous ses stabilisateurs.
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