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Géométrie – droites et cercles

I – Vocabulaire de base

1) Droite, demi-droite et segment

Figure Notation Signification
[AB] Lire : « segment [AB] ».

C’est le segment d’extrémités A et B.

(AB) Lire : « droite (AB) ».

C’est la droite qui passe par les points A et B.

[AB) Lire : « demi-droite [AB) ».

C’est la demi-droite d’origine A passant par le point B.

A \in (d)

B \notin (d)

Le point A appartient à la droite (d).

Le point B n’appartient pas à la droite (d).

2) Points alignés

Propriétés
  • Par un point, il passe une infinité de droites.
  • Deux points sont toujours alignés.
  • Par deux points, il ne passe qu’une seule droite.
Définition
Trois points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.

Exemple : Les points A, B et C sont alignés.

 

 

II – Droites sécantes et angles

Définition
Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point. Ce point est appel point d’intersection.

Exemple : Le point I est le point d’intersection des droites (d) et (d’).

 

 

 

Définition
  • Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine.
  • Les deux demi-droites s’appellent les côtés de l’angle.
  • L’origine commune des deux demi-droites s’appelle le sommet de l’angle.
  • La mesure d’un angle est l’écartement de ses deux côtés.

III – Longueur et milieu d’un segment

Définition
La longueur d’un segment est la distance qui séparent les deux extrémités de ce segment. La longueur du segment [AB] se note AB.
Définition
  • Le milieu du segment [AB] est le point du segment [AB] qui est équidistant (à la même distance) des extrémités A et B.
  • Dit autrement : Le milieu d’un segment coupe ce segment en deux segments de même longueur.

Exemple : Le point A est le milieu du segment [RT]. Cela signifie que les points A,R et T sont alignés et que les distances AR et AT sont égales.

Codage du milieu : Pour indiquer sur une figure que deux segments ont la même longueur, on leur ajoute un même symbole (un petit disque noir dans cet exemple).

IV – Vocabulaire du cercle

Définitions
  • Un cercle de centre O est l’ensemble des points situés à la même distance du point O.
  • Cette distance est le rayon du cercle.
  • Un diamètre d’un cercle est un segment ayant pour extrémités deux points de ce cercle et contenant son centre.
  • Une corde d’un cercle est un segment ayant pour extrémités deux points de ce cercle.
  • Un arc de cercle est une portion de cercle comprise entre deux points de ce cercle.

Exemple :

  • Le point O est le centre du cercle (\mathcal{C}).
  • Le segment [OA] est un rayon du cercle (\mathcal{C})
  • Le segment [EF] est un diamètre du cercle (\mathcal{C})
  • Le segment [MN] est une corde du cercle (\mathcal{C})
  • La portion de cercle \overset{\displaystyle\frown}{MN} comprise entre M et N est un arc du cercle (\mathcal{C})

 

Vocabulaire
  • Un cercle possède une infinité de rayons. Dans l’exemple précédent, les segments [OA], [OE] et [OF] sont trois rayons du cercle (\mathcal{C}). LE rayon d’un cercle est la longueur de tous ses rayons : les trois distances OA, OE et OF sont toutes égales au rayon du cercle.
  • De la même façon, un cercle a une infinité de diamètres. LE diamètre d’un cercle est la longueur de tous ses diamètres.
Propriété
Le diamètre d’un cercle est égal au double de son rayon

Exemple : Si le rayon d’un cercle est de 3 cm alors son diamètre est de 6 cm.

V – Droites parallèles

Définition
Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes.

Exemple : Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Elles ne se coupent pas. Elles n’ont pas de point d’intersection.

On note : (d) // (d’)

VI – Droite perpendiculaire

Définition
Une droite est perpendiculaire à une autre droite si elles forment entre elles des angles de même mesure.

Exemple :

La droite (d’) est perpendiculaire à la droite (d).

On peut aussi dire que la droite (d) est perpendiculaire à la droite (d’).

Remarque : Deux droites perpendiculaires forment entre elle quatre angles droits.

 

propriété : Position relative de deux droites
Deux droites sont parallèles ou sécantes.

VII – Médiatrice d’un segment

Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par le milieu de ce segment.

Exemple : La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. Elle passe par le point M, milieu du segment [AB]. Elle forme avec [AB] un angle droit.