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Format A4

Soient ABCD un rectangle, I et J milieux respectifs des segments [CD] et [AB]. La droite (BD) rencontre les droites (AI) et (JC) aux points M et N. On va démontrer que la condition pour que les angles en M et en N soient droits est : AB^2 = 2 \times BC^2.

Explications :

Posons \widehat{AIJ} = \alpha et supposons que \widehat{KMI} = \dfrac{\pi}{2}.

\tan{\alpha} = \dfrac{AJ}{IJ} = \dfrac{MK}{MI}.

Le théorème de Thales : \dfrac{MK}{MI} = \dfrac{DK}{AI}.

Posons AB = a et AD = b et utilisons le théorème de Pythagore :

Alors DK^2 = DI^2 + IK^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{b^2}{4} = \dfrac{a^2 + b^2}{4}.

et AI^2 = AD^2 + DI^2 = b^2 + \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{a^2 + 4b^2}{4}.

Ainsi \dfrac{DK^2}{AI^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 + 4b^2} . Or \dfrac{DK^2}{AI^2} = \dfrac{MK^2}{MI^2} = \dfrac{AJ^2}{IJ^2} = \dfrac{a^2}{4 b^2}.

Donc \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 + 4b^2} = \dfrac{a^2}{4 b^2}. En posant l’égalité des produits en croix et en simplifiant, il vient a^2 = 2b^2, c’est-a-dire : AB^2 = 2 \times BC^2.

Explications par les coordonnées :

On se place dans un repère orthonormé de centre A dans lequel les points ont les coordonnées suivantes :

J (\dfrac{a}{2};0), K (\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}), I(\dfrac{a}{2};b), D(0;b).

Le coefficient directeur de la droite (AI) est \dfrac{2b}{a}. Celui de la droite (DK) est -\dfrac{b}{a}.

Les droites (AI) et (DK) sont perpendiculaires si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1. Ce qui donne : -\dfrac{b}{a} \times \dfrac{2b}{a} = -1, soit a^2 = 2b^2.

Remarque : les feuilles de papier au format de la série A, comme le A4, sont des rectangles possédant cette propriété.