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Fonctions (Première partie)

I – Définitions et vocabulaire

Définition
Définir une fonction f sur un ensemble \mathcal{D} de nombres réels, c’est associer à chaque nombre x \in \mathcal{D} un nombre unique appelé image de x par f et noté f(x).

Exemples :

Pour un vélo, la pression plus ou moins forte sur la manette du frein, on freine plus ou moins rapidement et la distance de freinage est plus ou moins longue. On peut dire que la distance de freinage f(x) est fonction de la pression sur le frein x

La table de multiplication par 2 est une fonction : à chaque nombre x, elle associe le nombre 2x. On écrit que f(x)=2x.

Un thermomètre est une fonction : à une température donnée, il associe une hauteur de liquide coloré.

Remarques sur le domaine de définition :

Comme cela est dit dans la définition d’une fonction, une fonction peut être définie que pour quelques nombres, pour un intervalle de nombres ou pour l’ensemble des nombres réels.

Exemples :

  • Les tables de multiplications apprises à l’école primaire ont comme domaine de définition : \lbrace 1 ; 2 ; 3 ; 4; 5 ; 6 ; 7; 8 ; 9 \rbrace.
  • Un thermomètre usuel en France indique correctement des températures allant de -20°C à 50°C. Son domaine de définition exprimé en degrés Celsius est [-20 ; 50].
  • La fonction, qui à un nombre quelconque x, associe son carré x^2 a comme domaine de définition l’ensemble des nombres réels. On dit qu’elle est défini sur \mathbb{R}.

Remarque sur l’image d’un nombre par une fonction :

Comme cela est dit dans la définition d’une fonction, l’image d’un nombre par une fonction est UNIQUE. Une fonction ne peut pas transformer un nombre x en deux images, car dans ce cas, on ne saurait jamais, laquelle des deux choisir.

Pour chaque x, il y a un seul f(x).

On peut faire l’analogie avec un miroir. Si vous vous regardez dedans, il vous revoie qu’une seule image de vous.

Notation
Vocabulaire
Étant donné une fonction f, les 4 expressions suivantes sont équivalentes :

  • f(x) = y
  • x a pour image y
  • x est l’antécédent de y
  • y est l’image de x

II – Comment définir une fonction ?

1) Par une expression algébrique :

Exemple : f : x \longrightarrow x^2+1

2) Par un algorithme :

La même fonction f définie par programme de calcul :

  • choisir un nombre,
  • le multiplier par lui-même,
  • ajouter 1 au résultat.

3) Par une représentation graphique (définition éventuellement partielle) :

Cette définition est partielle car elle ne permet pas de donner toutes les images lorsque le domaine de définition est grand.

Exemple : la même fonction f est représentée graphiquement. Son domaine de définition est \mathbb{R} mais la représentation graphique ci-contre est limité à l’intervalle [-3 ; 3,5].

Par contre, la représentation graphique d’une fonction offre de nombreux avantages (voir ci-dessous).

4) Par un tableau de valeurs (définition partielle) :

Toujours pour la même fonction.

Cette définition est partielle car elle ne donne l’image par f que pour quelques valeurs de la variable x. Elle est néanmoins souvent utilisé par décrire le résultat d’une expérience en physique, en chimie, par exemple.

III – Courbe représentative d’une fonction

Définitions
Soit une fonction définie par son expression algébrique f : x \longrightarrow f(x) sur un ensemble \mathcal{D}. La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé est l’ensemble des points de coordonnées (x,f(x))x prend toutes les valeurs de l’ensemble \mathcal{D}.

L’équation y = f(x) est appelée équation de la courbe représentative de la fonction f.

Propriété
Soit une fonction définie par son expression algébrique f : x \longrightarrow f(x). Un point M de coordonnées (a;b) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si b=f(a).

Pour savoir si un point M(a ;b) appartient à la courbe de f, on calcule f(a) que l’on compare à b. Si f(a)=b alors M est sur la courbe.

Exemple : Étant donnée la fonction g : x \longrightarrow x^2-4, Les points A(1;-3) et B(2;1) appartiennent-ils à la courbe représentative de g ?

En plaçant ces deux points dans la figure, il semble que la réponse soit positive pour A et négative pour B. On va le vérifier par le calcul :

L’abscisse de A est 1 et son ordonnée est -3. Le point A appartiendrait à la courbe représentative de g si g(1)=3. g(1) = 1^2-4 = -3. Donc A est sur la courbe.

L’abscisse de B est 2 et son ordonnée est 1. Le point B appartiendrait à la courbe représentative de g si g(2)=1. g(2) = 2^2-4 = 0. Donc B n’est pas sur la courbe.

IV – Recherche d’antécédent(s) d’un réel par une fonction

Méthode n°1 : Résolution algébrique de f(x)=k

Soit une fonction définie par son expression algébrique f : x \longrightarrow f(x) sur un ensemble \mathcal{D} et un réel k. Chercher algébriquement le ou les antécédents de k par f c’est trouver le ou les valeurs x appartenant à \mathcal{D} telles que f(x)=k. Cela équivaut à résoudre par le calcul l’équation f(x)=k.

Exemple : Soit une fonction f : x \longrightarrow x^2 + 1. Pour trouver les antécédents, s’ils existent, de 5.Il faut résoudre l’équation : f(x) = 5.

    \[ f(x) = 5\iff x^2 + 1 = 5 \iff x^2 = 5 - 1 \iff x^2 = 4 \iff x^2 = 2^2 \]

Cette équation a deux solutions : \lbrace -2 ; 2 \rbrace. Donc les antécédents de 5 par la fonction f sont -2 et 2. C’est-à-dire que f(-2)=f(2)=5

Le nombre -2 possède-t-il un antécédent par cette même fonction f ? Tentons de déterminer les solutions de l’équation f(x) = -2.

    \[ f(x) = -2 \iff x^2 + 1 = -2 \iff x^2 = -2-1 \iff x^2 = -3 \]

Il est évident que cette équation n’a pas de solution car un carré ne peut être égal à un nombre négatif. Par conséquent -2 n’a pas d’antécédent par f.

Remarque : L’observation de la courbe représentative de f (figure de droite), nous permet de confirmer ces calculs.

Méthode n°2 : Résolution graphique de f(x)=k.

Soit une fonction définie par son expression algébrique f : x \longrightarrow f(x) sur un ensemble \mathcal{D} et un réel k. Chercher graphiquement le ou les antécédents de k par f c’est résoudre graphiquement l’équation f(x)=k.

Pour cela on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses, formée de tous les points d’ordonnées k. Puis on cherche les points d’intersection de cette droite avec la courbe représentative de f. Les abscisses de ces points sont les solutions recherchées. En général, on obtient des valeurs approchées avec une marge d’erreur qui dépend de l’unité choisie pour le repère orthonormé.

Exemple : Pour la fonction dont la courbe est représentée à droite, le nombre k possède trois antécédents dont les valeurs approchées sont : 0,54 ; 3,32 ; 5,48.

ATTENTION : Il faut toujours vérifier que les solutions trouvées appartiennent bien au domaine de définition \mathcal{D} de la fonction f.

V – Résolution graphique d’équations

Soient deux fonctions f et g définies un ensemble \mathcal{D} dont les courbes représentatives sont \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g. Résoudre l’équation f(x)=g(x) consiste à trouver les points d’intersection de \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g.

Deux cas possibles :

  • \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g n’ont pas de points d’intersection, alors l’équation f(x)=g(x) n’a pas de solution.
  • \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g, les solutions de f(x)=g(x) sont les abscisses de ces points.

Exemple :

Étant données deux fonctions :

  • g : x \longrightarrow x^2 - 4 et
  • h : x \longrightarrow -\dfrac{x^3}{6} + 2x,

on veut résoudre l’équation g(x) = h(x)

La résolution algébrique est bien trop compliquée (niveau universitaire). On va se contenter d’une résolution graphique.

On trace les représentations graphiques de ces deux fonctions et on repère les points d’intersection A et B.

Les valeurs approchées de leurs abscisses respectives, sont les deux solutions réelles de cette équation, soit -1,32 et 2,52.

VI – Résolution graphique d’inéquations

1) Résolution de l’inéquation f(x) < k

Soient la fonction f définie sur l’intervalle [a ; b] dont la courbe représentative est \mathcal{C}_f et k un réel quelconque. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) < k sur [a ; b], c’est trouver les abscisses de tous les points de \mathcal{C}_f dont l’ordonnée est strictement inférieure à k.

Sur la figure de droite, on observe que l’ensemble des solutions de l’équation f(x) < k est l’intervalle ]c ; d[, car pour tout x \in ]c ; d[, f(x) < k. Autrement dit sur l’intervalle ]c ; d[, la courbe \mathcal{C}_f se situe en dessous de la droite horizontale des points d’ordonnée égale à k.

Remarque : l’ensemble des solutions pour le cas ci-contre est l’intervalle ouvert ]c ; d[ car l’inéquation à résoudre est f(x) < k, c’est-à-dire que f(x) doit être strictement inférieur à k. Si l’inéquation avait été f(x) \le k, l’ensemble des solutions aurait été l’intervalle fermé [c ; d].

2) Résolution de l’inéquation f(x) \ge k

Soient la fonction f définie sur l’intervalle [a ; b] dont la courbe représentative est \mathcal{C}_f et k un réel quelconque. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) \ge k sur [a ; b], c’est trouver les abscisses de tous les points de \mathcal{C}_f dont l’ordonnée est supérieure ou égale à k.

Sur la figure précédente, on observe que l’ensemble des solutions de l’équation f(x) \ge k est la réunion des intervales ]-\infty ; c] et [d ; +\infty[, car pour tout x appartenant à l’un de ces deux intervalles, f(x) \ge k. Autrement dit sur ces deux intervalles, la courbe \mathcal{C}_f se situe au dessus de la droite horizontale des points d’ordonnée égale à k.

Remarque : l’ensemble des solutions pour le cas ci-dessus sont les intervalles ]-\infty ; c] et [d ; +\infty[, qui sont fermés des côtés de c et d car l’inéquation à résoudre est f(x) \ge k, c’est à dire que f(x) doit être supérieur ou égal à k. Si l’inéquation avait été f(x) > k, les intervalles auraient été ouverts des côtés de c et d.

3) Résolution de l’inéquation f(x)<g(x)

Soient deux fonctions f et g définies sur l’intervalle [a ; b] dont les courbes représentatives sont \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g.

Résoudre l’inéquation f(x)<g(x), c’est trouver les abscisses de tous les points de \mathcal{C}_f dont les ordonnées sont strictement inférieures à celles des points de \mathcal{C}_g possédant la même abscisse.

Dans l’exemple ci-contre, on observe que la courbe \mathcal{C}_f est en dessous de la courbe \mathcal{C}_g sur l’intervalle ]c ; d[. Cet intervalle est la solution de l’inéquation.

VII – Variation des fonctions

Dans ce chapitre on considère une fonction f définie sur un intervalle I qui peut être l’ensemble des réels \mathbb{R}.

1) Extremum d’une fonction

Définition : Maximum d'une fonction

Soit M \in \mathbb{R}. M est le maximum de f sur i si et seulement s’il existe un nombre a \in II tel que :

  • f(a)=M et
  • pour tout x \in I, f(x) \le M

On dit que le maximum M de la fonction f est atteint pour x=a.

On observe que sur l’intervalle I, la courbe représentative de la fonction f présente un sommet.

Définition : Minimum d'une fonction
Soit m \in \mathbb{R}. m est le minimum de f sur i si et seulement s’il existe un nombre b \in II tel que :

  • f(b)=m et
  • pour tout x \in I, f(x) \ge m

On dit que le minimum b de la fonction f est atteint pour x=b.

On observe que sur l’intervalle I, la courbe représentative de la fonction f présente un creux.

Vocabulaire : Le minimum et le maximum d’une fonction sont les extrema de cette fonction.

2) Sens de variation d’une fonction

Définition : Fonction strictement croissante sur un intervalle
f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous réels u et v tels que u < v alors f(u) < f(v).

De manière imagée, on observe que sur l’intervalle i, la courbe représentative de la fonction f ne cesse de monter.

Définition : Fonction croissante sur un intervalle
f est croissante sur I si et seulement si pour tous réels u et v tels que u \le v alors f(u) \le f(v).

De manière imagée, à la différence d’une fonction strictement croissance, on observe que sur l’intervalle I, la courbe représentative de f marque une pause dans sa montée. Elle présente au moins un plateau.

Définition : Fonction strictement décroissante sur un intervalle
f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous réels u et v tels que u < v alors f(u) > f(v).

De manière imagée, on observe que sur l’intervalle i, la courbe représentative de la fonction f ne cesse de descendre.

Définition : Fonction décroissante sur un intervalle
f est décroissante sur I si et seulement si pour tous réels u et v tels que u \le v alors f(u) \ge f(v).

De manière imagée, à la différence d’une fonction strictement décroissance, on observe que sur l’intervalle I, la courbe représentative de f marque une pause dans sa descente. Elle présente au moins un plateau.

Vocabulaire : une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle est dite monotone.

Définition : Fonction constante sur un intervalle
f est constante sur I si et seulement si pour tous réels u et v, f(u)=f(v)

Exemple : f : x \longrightarrow 2,5 sur [-1 ; 3].

La courbe représentative de la fonction est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

3) Tableau de variation d’une fonction

Définition : Tableau de variation d'une fonction
Le tableau de variation d’une fonction rassemble les informations essentielles concernant les variations de la fonction sur son ensemble de définition. Il se compose de deux lignes :

  • les valeurs clés de l’ensemble de définition ;
  • les variations de la fonction : Une flèche descendante si la fonction est décroissante, une flèche montante si elle est croissante ;
  • Les extrema de chaque intervalle.

Exemple  : le tableau de variation de la fonction f : x \longrightarrow x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 - 6x + 3.

Que nous apprend ce tableau de variations sur la fonction f ?

  • La première ligne x : l’ensemble de définition est \mathbb{R}
  • La deuxième ligne f(x) :
    • f possède un maximum -1 qui est atteint en -6,5
    • f possède un minimum -7 qui est atteint en 2
    • f est croissante sur ]-\infty ; -1[ et ]2 ; +\infty[
    • f est décroissante sur ]-1 ; 2 [