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Fonctions (Développements limités)

Formule de Taylor-Young : f \in C^n (I), a \in I. Alors f admet un développement limité au voisinage de a :

    \[ f(x) \underset{a}{=} \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}a}{k!} (x-a)^k + o((x-a)^n) \]

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS EN ZÉRO

    \[ (1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha - 1)}{2!} x^2 + \cdots + \dfrac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} x^n + o(x^n) \]

    \[ \dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) \]

    \[ \dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n) \]

    \[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) \]

    \[ \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) \]

    \[ \tan(x) = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2}{15} x^5 + o(x^6) \]

    \[ \arctan = x - \dfrac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} +o(x^{2n+2}) \]

    \[ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + o(x^n) \]

    \[ \ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^n \dfrac{x^n}{n} + o(x^n) \]