Dans ce chapitre on considère une fonction définie sur un intervalle qui peut être l’ensemble des réels .
I – Extremum d’une fonction
Soit . est le maximum de sur si et seulement s’il existe un nombre I tel que :
- et
- pour tout
On dit que le maximum de la fonction est atteint pour .
On observe que sur l’intervalle , la courbe représentative de la fonction présente un sommet.
- et
- pour tout
On dit que le minimum de la fonction est atteint pour .
On observe que sur l’intervalle , la courbe représentative de la fonction présente un creux.
Vocabulaire : Le minimum et le maximum d’une fonction sont les extrema de cette fonction.
II – Sens de variation d’une fonction
De manière imagée, on observe que sur l’intervalle , la courbe représentative de la fonction ne cesse de monter.
De manière imagée, à la différence d’une fonction strictement croissance, on observe que sur l’intervalle , la courbe représentative de marque une pause dans sa montée. Elle présente au moins un plateau.
De manière imagée, on observe que sur l’intervalle , la courbe représentative de la fonction ne cesse de descendre.
De manière imagée, à la différence d’une fonction strictement décroissance, on observe que sur l’intervalle , la courbe représentative de marque une pause dans sa descente. Elle présente au moins un plateau.
Vocabulaire : une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle est dite monotone.
Exemple : sur .
La courbe représentative de la fonction est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
III – Tableau de variation d’une fonction
- les valeurs clés de l’ensemble de définition ;
- les variations de la fonction : Une flèche descendante si la fonction est décroissante, une flèche montante si elle est croissante ;
- Les extrema pour chaque intervalle.
Exemple : le tableau de variation de la fonction .
Que nous apprend ce tableau de variations sur la fonction ?
- La première ligne : l’ensemble de définition est
- La deuxième ligne :
- possède un maximum qui est atteint en
- possède un minimum qui est atteint en
- est croissante sur et
- est décroissante sur