Dans ce chapitre on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ qui peut être l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ .

I – Extremum d’une fonction

Définition : Maximum d'une fonction

Soit $M \in \mathbb{R}$ . $M$ est le maximum de $f$ sur $I$ si et seulement s’il existe un nombre $a \in I$ I tel que :

$f(a)=M$ et
pour tout $x \in I, f(x) \le M$

On dit que le maximum $M$ de la fonction $f$ est atteint pour $x=a$ .

On observe que sur l’intervalle $I$ , la courbe représentative de la fonction $f$ présente un sommet.

Définition : Minimum d'une fonction

Soit $m \in \mathbb{R}$ . $m$ est le minimum de $f$ sur $I$ si et seulement s’il existe un nombre $b \in I$ I tel que :

$f(b)=m$ et
pour tout $x \in I, f(x) \ge m$

On dit que le minimum $m$ de la fonction $f$ est atteint pour $x=b$ .

On observe que sur l’intervalle $I$ , la courbe représentative de la fonction $f$ présente un creux.

Vocabulaire : Le minimum et le maximum d’une fonction sont les extrema de cette fonction.

II – Sens de variation d’une fonction

Définition : Fonction strictement croissante sur un intervalle

$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si pour tous réels $u$ et $v$ tels que $u < v$ alors $f(u) < f(v)$ .

De manière imagée, on observe que sur l’intervalle $I$ , la courbe représentative de la fonction $f$ ne cesse de monter.

Définition : Fonction croissante sur un intervalle

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si pour tous réels $u$ et $v$ tels que $u \le v$ alors $f(u) \le f(v)$ .

De manière imagée, à la différence d’une fonction strictement croissance, on observe que sur l’intervalle $I$ , la courbe représentative de $f$ marque une pause dans sa montée. Elle présente au moins un plateau.

Définition : Fonction strictement décroissante sur un intervalle

$f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si pour tous réels $u$ et $v$ tels que $u < v$ alors $f(u) > f(v)$ .

De manière imagée, on observe que sur l’intervalle $I$ , la courbe représentative de la fonction $f$ ne cesse de descendre.

Définition : Fonction décroissante sur un intervalle

$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si pour tous réels $u$ et $v$ tels que $u \le v$ alors $f(u) \ge f(v)$ .

De manière imagée, à la différence d’une fonction strictement décroissance, on observe que sur l’intervalle $I$ , la courbe représentative de $f$ marque une pause dans sa descente. Elle présente au moins un plateau.

Vocabulaire : une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle est dite monotone.

Définition : Fonction constante sur un intervalle

$f$ est constante sur $I$ si et seulement si pour tous réels $u$ et $v, f(u)=f(v)$ .

Exemple : $f : x \longrightarrow 2,5$ sur $[-1 ; 3]$ .

La courbe représentative de la fonction est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

III – Tableau de variation d’une fonction

Définition : Tableau de variation d'une fonction

Le tableau de variation d’une fonction rassemble les informations essentielles concernant les variations de la fonction sur son ensemble de définition. Il se compose de deux lignes :

les valeurs clés de l’ensemble de définition ;
les variations de la fonction : Une flèche descendante si la fonction est décroissante, une flèche montante si elle est croissante ;
Les extrema pour chaque intervalle.

Exemple : le tableau de variation de la fonction $f : x \longrightarrow x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 - 6x + 3$ .

Que nous apprend ce tableau de variations sur la fonction $f$ ?

La première ligne $x$ : l’ensemble de définition est $\mathbb{R}$
La deuxième ligne :
- $f$ possède un maximum $-1$ qui est atteint en $-6,5$
- $f$ possède un minimum $-7$ qui est atteint en $2$
- $f$ est croissante sur $]-\infty ; -1[$ et $]2 ; +\infty[$
- $f$ est décroissante sur $]-1 ; 2 [$