I – Parité d’une fonction

Définitions

Soit la fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ par $f : x \longrightarrow f(x)$ .

$f$ est une fonction paire si et seulement si pour tout $x \in \mathcal{D}, f(-x)=f(x)$ .
$f$ est une fonction impaire si et seulement si pour tout $x \in \mathcal{D}, f(-x)=-f(x)$ .

Exemples :

La fonction identité définie par : $x \longrightarrow x$ , est une fonction impaire.
La fonction valeur absolue définie par $x \longrightarrow \vert x \vert$ , est une fonction paire.

Propriété

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Démonstration : Soit la fonction $f$ paire définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ par $f : x \longrightarrow f(x)$ , dont voici la courbe représentative.

Soient les points $P(x;f(x))$ et $N(-x;f(-x))$ de la courbe représentative de $f$ . les ordonnés de N et P sont égales puisque $f$ est paire.

Calculons les coordonnées de M milieu du segment [NP]. L’abscisse de M vaut $\dfrac{x+(-x)}{2} =0$ . Ce qui prouve que M est sur l’axe des ordonnées.

Soient H et K, les projetés orthogonaux respectifs de N et P. La distance HN est égale à l’ordonnée du point N, $f(x)$ . La distance KP est égale à l’ordonnée de P, $f(x)$ aussi. Par conséquent la droite (NP) est parallèle à la droite (HK) qui est l’axe des abscisses. Comme l’axe des abscisses est perpendiculaire à l’axe des ordonnées, il vient que l’axe des ordonnées et la droite (NP) sont perpendiculaires.

Nous avons donc démontrer que l’axe des ordonnées est perpendiculaire au segment [NP] et passe son milieu. Donc les points N et P sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriété

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère orthonormé.

Démonstration : Soit la fonction $f$ impaire définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ par $f : x \longrightarrow f(x)$ , dont voici la courbe représentative.

Soient les points $P(x;f(x))$ et $N(-x;f(-x))$ de la courbe représentative de $f$ . les ordonnés de N et P sont opposées puisque $f$ est impaire.

Calculons les coordonnées du milieu du segment [NP]. Son abscisse vaut $\dfrac{x+(-x)}{2} =0$ . Son ordonnée vaut $\dfrac{f(x)+(-x)}{2} =0$ . Ce qui prouve que $O(0 ; 0)$ est le milieu du segment [NP] et que par conséquent, N et P sont symétriques par rapport à O.

II – La fonction carré

Définition

La fonction carré est la fonction définie sur $\mathbb{R} : x \longrightarrow x^2$

Propriétés

La fonction carré :

est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$
est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0 ]$
possède un minimum 0 atteint pour $x=0$

Démonstration :

On rappelle l’identité remarquable : $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a < b$ . Alors $b - a > 0$ et $b + a > 0$ .

Par conséquent $(b - a)(b + a) > 0$ donc $b^2 - a^2 > 0$ , ce qui donne $a^2 < b^2$ .

Nous venons de démontrer que si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$ . Ainsi la fonction carré est croissante sur $[0 ; +\infty[$ .

On démontre de façon similaire que la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ; 0 ]$ .

Enfin, nous savons que tout carré est positif et ne s’annule que pour le carré de 0. Cela suffit à prouver que la fonction carré possède un minimum 0 atteint pour $x=0$ .

Tableau de variation et courbe représentative

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole. Le sommet de la parabole est le point O, origine du repère.

Propriété

La fonction carré est paire : pour tout réel $x, x^2 = (-x)^2.$

Démonstration : deux nombres opposés ont le même carré : $(-x)^2 = (-x) \times (-x) = x \times x= x^2$ .

Interprétation géométrique : la courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple : Les points $A(-2 ; 4)$ et $A'(2 ; 4)$ sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

III – La fonction inverse

Définition

La fonction inverse est la fonction définie sur $]-\infty ; 0 [$ et sur $]0 ; +\infty[ : x \longrightarrow \dfrac{1}{x}$

Propriété

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0 [$ et sur $]0 ; +\infty[$ .

Démonstration : Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls.

$\dfrac{1}{a}- \dfrac{1}{b} = \dfrac{(1 \times b) - (1 \times a)}{a \times b} = \dfrac{b - a}{ab}$ .

Supposons que $a < b$ . Alors $b - a > 0$ . Donc le signe de $\dfrac{b - a}{ab}$ ne dépend que du signe du dénominateur.

Si $a$ et $b$ appartiennent à l’intervalle $]-\infty ; 0 [$ , ils sont donc tous les deux négatifs et leur produit est positif.

Si $a$ et $b$ appartiennent à l’intervalle $]0 ; +\infty[$ , ils sont donc tous les deux positifs et leur produit est positif.

Finalement, l’expression $\dfrac{b - a}{ab}$ est toujours positive, donc $\dfrac{1}{a}- \dfrac{1}{b}$ est toujours positive, c’est-à-dire que $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ .

Partant de l’hypothèse que $a < b$ , on aboutit à la conclusion que $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ . Cela achève de démontrer que la fonction inverse est strictement décroissante.

Tableau de variation et courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.

Comme la fonction inverse n’est pas définie en 0, sa courbe représentative n’est pas continue : elle composée de deux parties qui ne se rejoignent pas.

Propriété

La fonction inverse est impaire : pour tout réel $x, \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$ .

Démonstration : deux nombres opposés ont leurs inverses également opposés.

Interprétation géométrique : la courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine O du repère orthonormé.

Exemple : Dans le figure ci-dessus, les points $A(-2 ; -0,5)$ et $A'(2 ; 0,5)$ sont symétriques par rapport au point O.

IV – La fonction cube

Définition

La fonction cube est la fonction définie sur $\mathbb{R} : x \longrightarrow x^3$

Propriétés

La fonction carré :

est impaire ;
est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Démonstration de la parité :

Soit $x \in \mathbb{R}. (-x)^3 = (-x) \times (-x) \times (-x) = -x^3$ . La fonction cube est donc impaire.

Démonstration de la monotonie :

1^er cas : Soient $x$ et $y$ deux réels positifs tels que $x < y$ , alors $x^2 < y^2$ car la fonction carré est croissante sur $]0 ; +\infty[$ .

Comme $x > 0$ , il vient que $x \times x^2 < x \times y^2$ , c’est-à-dire $x^3 < xy^2$ .

Comme $y^2 > 0$ et que $x < y$ , il vient que $x \times y^2 < y \times y^2$ , c’est-à-dire $xy^2 < y^3$ .

Nous avons donc obtenu le résultat suivant : $x^3 < xy^2 < y^3$ , donc $x^3 < y^3$ .

En partant de $x < y$ , on obtient $x^3 < y^3$ . La fonction cube est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ .

2^ème cas : Soient $x$ et $y$ deux réels négatifs tels que $x < y$ , alors après multiplication des deux membres de l’inégalité par $(-1)$ , on obtient $-y < -x$ .

Or $-x$ et $-y$ sont positifs, donc $(-y)^3 < (-x^3)$ d’après le résultat précédent.

Donc $-y^3 < -x^3$ , ce qui donne après multiplication des deux membres de l’inégalité par $(-1)$ : $x^3 < y^3$ . La fonction cube est strictement croissante sur $]-\infty ; 0 [$ .

3^ème cas : Soient $x$ et $y$ deux réels tel que $x < 0$ et $y > 0$ . Il est évident que $x < y$ . Par ailleurs si $x < 0$ alors $x^3 < 0$ et si $y > 0$ alors $y^3 > 0$ . Ce qui aboutit à $x^3 < y^3$ .

Dans ce cas aussi la croissance de la fonction cube est démontrée.

Tableau de variation et courbe représentative

V – La fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction définie sur $[0 ; +\infty[ : x \longrightarrow \sqrt{x}$ .

Propriété

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ .

Démonstration : Soient $a$ et $b$ deux réels, tels que $0 \le a < b$ . Pour démontrer que $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ , on va démontrer que $\sqrt{b} - \sqrt{a} > 0$ .

$\sqrt{b} - \sqrt{a} = (\sqrt{b} - \sqrt{a}) \times \dfrac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \dfrac{(\sqrt{b} - \sqrt{a} )(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \dfrac{(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \dfrac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$

Les racines étant toujours positives, $\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0$ . Par hypothèse $a < b$ donc $b - a > 0$ . On obtient ainsi que $\dfrac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} > 0$ , c’est-à-dire $\sqrt{b} - \sqrt{a} > 0$ . La fonction racine carrée est donc strictement croissante.